+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 4
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Решите систему уравнений: \(\begin {cases} \log_4x + \log_4y = 1, \\ x + y = 5. \end {cases}                  \)

Решение 1.

1. Учитывая, что \(x > 0\) и \(y > 0,\) приведем первое уравнение системы к равносильному.

\(\log_4x + \log_4y = 1;\)

\(\log_4(xy) = 1;\)

\(xy = 4^1;\)

\(xy = 4.\)

2. Выразим переменную \(x\) через переменную \(y\) во втором уравнении: \(x = 5 – y.\)

3. Подставив выражение \(5 – y\) вместо переменной \(x\) в уравнение \(xy = 4,\) получим и решим квадратное уравнение:

\((5 – y) y = 4;\)

\(– y^2 + 5y – 4 = 0;\)

\(y^2 – 5y + 4 = 0;\)

\(y_1 = 1\) и \(y_2 = 4.\)

4. Найдем соответствующие значения второй переменной:

\(x_1 = 4\) и \(x_2 = 1.\)

Ответ: \((4; 1),\) \((1; 4).\)

Решение 2.

\(\begin {cases} \log_4x + \log_4y = 1, \\ x + y = 5; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ \log_4(xy) = 1, \\ x = 5 - y; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ xy = 4, \\ x = 5 - y; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ x = 5 - y, \\ -y^2 + 5y - 4 = 0; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ x = 5 - y, \\ \left[ \begin{array}{ccc} y_1 = 1, \\ y_2 = 4; \end{array} \right. \end {cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} y_1 = 1, \\ x_1 = 4; \end {cases} \\ \begin {cases} y_2 = 4, \\ x_2 = 1. \end {cases}\end{array} \right.  \)

Ответ: \((4; 1),\) \((1; 4).\)

Материалы для повторения:

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Логарифмические уравнения и их системы



Сообщить об ошибке