Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Задание 3

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Решите уравнение: \(2\cos^23x = 1.\)

Решение 1.

Решим уравнение как квадратное относительно \(\cos3x.\)

\(2\cos^23x = 1;\)

\(\cos^23x = {1 \over 2};\)

\(\cos3x=±{1 \over \sqrt2}. \)

Найдем значение переменной \(x.\)

\(1) \cos3x = {1 \over \sqrt2};\)

\(3x = ±\arccos\Big({1 \over \sqrt2}\Big) + 2πn, n∈Z;\)

\(3x =±{π \over 4}+2πn, n∈Z;\)

\(x = ±{π \over 12} + {2 \over 3}πn, n∈Z;\)

\(2) \cos3x = -{1 \over \sqrt2};\)

\(3x = ±\arccos\Big(-{1 \over 2}\Big) +2πk, k∈Z;\)

\(3x = ±{3π \over 4} + 2πk, k∈Z;\)

\(x = ±{π \over 4} + {2 \over 3} πk, k∈Z.\)

Найдем объединение корней: \( x = {π \over 12} + {1 \over 6} πm, m∈Z.\)

Ответ: \(x = {π \over 12} + {1 \over 6} πm, m∈Z,\) или \(x = {π \over 12}(1+2m), m∈Z.\)

Решение 2.

Воспользуемся формулой понижения степени: \(\cos^2y = {1 \over 2} (1+\cos2y).\)

\(2 ⋅ \Big({1 \over 2} ⋅ (1 + \cos6x)\Big) - 1 = 0;\)

\(1 + \cos6x - 1 = 0;\)

\(\cos6x = 0;\)

\(6x = {π \over 2} + πk, k∈Z;\)

\(x = {π \over 12} + {1 \over 6} πk, k∈Z;\)

Ответ: \(x = {π \over 12} + {1 \over 6} πk, k∈Z,\) или \(x = {π \over 12}(1+2k), k∈Z.\)

Материалы для повторения:

Сообщить об ошибке