+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 2
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Упростите выражение: \(\sqrt{\sqrt[4]{x}} : \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} \cdot x^{\frac{23}{24}} (x > 0).\)

Решение 1.

Используем определение степени с рациональным показателем: \(a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}\) для любого натурального \(n,\) целого \(k\) и любого неотрицательного числа \(a.\)

\(\sqrt{\sqrt[4]{x}} : \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} \cdot x^{\frac{23}{24}}=\Big(x^{\frac{1}{4}}\Big)^{\frac{1}{2}}:\Big(x^{\frac{1}{3}}\Big)^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{23}{24}}=x^{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{23}{24}}=x.\)

При выполнении преобразований использовались свойства степени с рациональным показателем для любых рациональных чисел \(p\)  и \(q,\) любых положительных чисел \(a \) и \(b\!:\)

\(a^p \cdot a^q = a^{p + q};\)

\(a^p : a^q = a^{p - q};\)

\((a^p)^q = a^{p q};\)

\((a^b)^p = a^p \cdot b^p;\)

\((a:b)^p = a^p : b^p.\)

Ответ: \(x.\)

Решение 2.

\(\sqrt{\sqrt[4]{x}} :\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} \cdot x^{\frac{23}{24}}=\sqrt[8]{x} :\sqrt[12]{x} \cdot \sqrt[24]{x^{23}}=\sqrt[24]{x^3} : \sqrt[24]{x^2} \cdot \sqrt[24]{x^{23}}= \\ =\sqrt[24]{x^3:x^2 \cdot x^{23}}=x.\)

При выполнении преобразований использовались свойства для любого натурального \(n,\) целого \(k\) и любых неотрицательных чисел \(a \) и \(b\!:\)

\(1) \; (\sqrt[n]{a})^n=a;\)

\(2) \; \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};\)

\(3) \; \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\) \(b≠0;\)

\(4) \; \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a};\)

\(5) \; (\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k},\) если \(k ≤ 0,\) то \(a ≠ 0.\)

Ответ: \(x.\)

Материалы для повторения:

11 класс - Степени и корни - Степень с рациональным показателем и ее свойства

11 класс - Степени и корни - Корень n-ой степени и его свойства



Сообщить об ошибке