+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 3
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Упростите выражение: \(\frac{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}{x+x^{\frac{2}{3}}} \cdot \bigg(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x-1}+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}-1}\bigg).\)

Решение 1.

Упростим выражение по действиям:

\(1) \; \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x-1}+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}-1}=\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x-1}+\frac{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1}{x-1}=\frac{x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}+1}{x-1};\)

\(2) \; \frac{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}{x+x^{\frac{2}{3}}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}(x-1)}{x^{\frac{2}{3}}\Big(x^{\frac{1}{3}}+1\Big)}=\frac{x-1}{x^{\frac{1}{3}}\Big(x^{\frac{1}{3}}+1\Big)};\)

\(3) \; \frac{x-1}{x^{\frac{1}{3}}\Big(x^{\frac{1}{3}}+1\Big)} \cdot \frac{\Big(x^{\frac{1}{3}}+1\Big)^2}{x-1}=\frac{x^{\frac{1}{3}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}=1+x^{-\frac{1}{3}}.\)

Ответ: \(\frac{x^{\frac{1}{3}}+1}{x^{\frac{1}{3}}},\) или \(1+x^{-\frac{1}{3}}.\)

Решение 2.

Выполним замену переменной \(x^{\frac{1}{3}}=a,\) таким образом, выражение примет следующий вид:

\(\frac{a^4-a}{a^3+a^2} \cdot \bigg(\frac{a}{a^3-1}+\frac{1}{a-1}\bigg).\)

Используя формулу разности кубов и вынесение множителя за скобки, выполним действия в полученном выражении:

\(\frac{a(a^3-1)}{a^2(a+1)} \cdot \bigg(\frac{a}{a^3-1}+\frac{1 \cdot (a^2+a+1)}{a^3-1}\bigg)=\frac{a(a^3-1)}{a^2(a+1)} \cdot \bigg(\frac{a+a^2+a+1}{a^3-1}\bigg)= \\ =\frac{a(a^3-1)}{a^2(a+1)} \cdot \bigg(\frac{a^2+2a+1}{a^3-1}\bigg)=\frac{a(a^3-1)}{a^2(a+1)} \cdot \frac{(a+1)^2}{a^3-1}=\frac{a+1}{a}.\)

Выполним обратную замену:

\(\frac{x^{\frac{1}{3}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}=1+x^{-\frac{1}{3}}.\)

Ответ: \(\frac{x^{\frac{1}{3}}+1}{x^{\frac{1}{3}}},\) или \(1+x^{-\frac{1}{3}}.\)

Материалы для повторения:

11 класс – Степени и корни – Степень с рациональным показателем и ее свойства

11 класс – Степени и корни – Корень n-ой степени и его свойства



Сообщить об ошибке