Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Задание 5

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Решите систему уравнений: \(\begin {cases} 8^x + 3^y = 17, \\ 8^{-x} - 3^{-y} = {1 \over 72}. \end {cases}\)

Решение.

1. Выполним замену переменных:

\(8^x = a,\) \(3^y = b,\) причем \(a > 0,\) \(b > 0.\)

Тогда исходная система примет следующий вид: \(\begin {cases} a + b = 17, \\ {1 \over a} - {1 \over b} = {1 \over 72}. \end {cases}\)

2. Решим полученную систему способом подстановки. Выразим переменную \(a\) в первом уравнении.

\(a = 17 – b.\)

3. Подставим полученное выражение во второе уравнение системы и решим получившееся уравнение с переменной.

\({1 \over 17 - b} - {1 \over b} = {1 \over 72};\) \(b ≠ 0,\) \(b ≠ 17;\)

\(72b – 72(17 – b) = b(17 – b);\)

\(b^2 + 127b – 1224 = 0;\)

\(\left[ \begin{array}{ccc} b_1 = -136, \\ b_2 = 9.\end{array} \right.\)

\(b_1 = -136\) является посторонним корнем, так как не удовлетворяет условию замены.

4. Найдем соответствующие значения второй переменной: \(\begin {cases} b = 9, \\ a = 8. \end {cases}\)

5. Выполним обратную замену: \(\begin {cases} 3^y = 9, \\ 8^x = 8; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x = 1, \\ y = 2. \end {cases}\)

Ответ: \((1; 2),\) или \(x = 1;\) \(y = 2.\)

Материалы для повторения:

Сообщить об ошибке