+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 6
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^2 – 4\) и \(y = – 2 – |x|.\)

Построим в одной системе координат эскизы графиков заданных функций и укажем фигуру, площадь которой необходимо найти.

Решение.  

Площадь закрашенной фигуры определяется по формуле: \(S = \int\limits_a^b(f(x) - g(x))dx,\) где \(g(x) = x^2 – 4,\) \(f(x) = –2 – |x|,\) \(a\) и \(b\) – абсциссы точек пересечения графиков функций.

Определим абсциссы точек пересечения.

\(4 - x^2 = 2 + |x|;\)

\(x^2 + |x| - 2 = 0.\)

Решим уравнение как квадратное относительно \(x,\) затем найдем значение переменной \(x.\)

\(\begin {cases} |x| = 1, \\ |x| = -2; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x_1 = -1, \\ x_2 = 1. \end {cases}\)

Так как обе функции являются четными, то площадь закрашенной фигуры определяется по формуле: \(S = 2 \int\limits_0^b(f(x) - g(x))dx,\) где \(g(x) = x^2 – 4,\) \(f(x) = –2 – |x|,\) \(b = 1.\)

\(2 \int\limits_0^1 ((x^2 - 4) - (-2 - x))dx = 2\int\limits_0^1(x^2 + x - 2)dx = \\ = 2 \left( {x^3 \over 3} + {x^2 \over 2} - 2x \right) \bigg|_0^1 = 2 \left( \Big( {1 \over 3} + {1 \over 2} - 2 \Big) - (0 + 0 - 0) \right) = \)

\(= {7 \over 3} =2{1 \over 3}\) кв. ед.

Ответ: \(2{1 \over 3}\) кв. ед.

Материалы для повторения:

11 класс – Первообразная и интеграл – Площадь криволинейной трапеции



Сообщить об ошибке