Выборка. Статистическая вероятность. Частота. Относительная частота

Основными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность и выборка.

Генеральная совокупность – это совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины.

Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность составляющих ее объектов.

Выборкой (выборочной совокупностью) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.

Выборка может быть повторной, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность, и бесповторной, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.

Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием. Результат, исход испытания называется событием.

Пример 1. Сдача экзамена – это испытание; получение определенной отметки – событие. Выстрел – это испытание; попадание в определенную область мишени – событие. Бросание игрального кубика – это испытание; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – событие.

Пусть опыт, эксперимент S многократно повторяется в одинаковых условиях. Если при выполнении n испытаний некоторое событие А появилось m раз, то величину \(W_n(A)=\frac{m}{n}\) называют относительной частотой появления события А, или частостью наступления события в данной серии из n испытаний.

Пример 2. Вася обнаружил 3 бракованные детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей: \(W(A)=\frac3{80}\).

Пример 3. По цели произведено 24 выстрела, при этом было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения поля: \(W(A)=\frac{19}{24}\).

Длительные наблюдения показали, что если число испытаний, проведенных в одинаковых условиях, достаточно велико, то относительная частота в различных опытах изменяется мало – тем меньше, чем больше проведено испытаний. Значение относительной частоты – постоянное число, приблизительно равное вероятности.

В этом заключается свойство устойчивости относительной частоты. В законе больших чисел (теорема Бернулли) доказывается, что при большом числе испытаний частость колеблется около вероятности события, т. е. \(P(A)\approx W_n(A)=\frac{m}{n}\), это число и принимается за статистическую вероятность.

Статистическая вероятность события – это относительная частота появления события А в серии из n испытаний.

Если статистическая вероятность близка к 1, то событие можно считать практически достоверным, если близка к нулю – невозможным.

Относительная частота события обладает следующими свойствами:

1. Частота любого события заключена в интервале от нуля до единицы, т. е. \(0\le P(A)\le1\).
2. Частота невозможного события равна нулю, т. е. \(P(\varnothing)=0\).
3. Частота достоверного события равна 1.
4. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот этих событий, т. е. если \(A\cdot B=\varnothing\), то \(P(A+B)=P(A)+P(B)\).