Элементарное событие. Классическая вероятность. Геометрическая вероятность

Пространством элементарных исходов \(\Omega\) (омега) называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой \(\Omega\) (омега).

Событиями мы будем называть подмножества множества \(\Omega\). Говорят, что в результате эксперимента произошло событие \(A\subseteq\Omega\), если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество A.

Пример 1. Один раз подбрасывается кубик – игральная кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов \(\Omega=\{1, 2,3,4,5,6\}\), элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков. Примеры событий: \(A=\{1,2\}\) – выпало одно или два очка; \(B=\{1,3,5\}\) – выпало нечетное число очков.

Классическое определение вероятности

Пример 2. Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый. Какова возможность вынуть наудачу из урны цветной шар? Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называется вероятностью события А (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Каждый из возможных результатов испытания (в примере, испытание состоит в извлечении шара из урны) называется элементарным исходом.

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. В примере благоприятствуют событию А (появление цветного шара) 5 исходов.

Вероятностью P(A) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность P(A) события А определяется по формуле \(P(A)=\frac{m}{n}\), где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

В примере 2 всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна \(P(A)=\frac56\).

Это есть классическое определение вероятности. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно.

Если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности. Геометрическая вероятность события А, являющегося подмножеством множества \(\Omega\) точек на прямой или плоскости, – это отношение площади фигур А к площади всего множества \(\Omega\): \(P(A)=\frac{S(A)}{S(\Omega)}\).

Пример 3. Мишень имеет форму окружности радиусом 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Посмотрим на рисунок. Нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем: \(P(A)=\frac{S(A)}{S(\Omega)}=\frac{0,5 \cdot S(\Omega)}{S(\Omega)}=0,5\).