Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Выражение, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций, называют тригонометрическим.

Для преобразования выражений используют свойства тригонометрических функций и формулы тригонометрии. При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю.

Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать область допустимых значений преобразуемых выражений.

Пример 1. Упростить: \(\frac13cos^3\alpha\cdot sin3\alpha+\frac13sin^3\alpha\cdot cos3\alpha\).

Решение: Применив формулы \(sin3\alpha=3cos^2\alpha\cdot sin\alpha-sin^3\alpha, \ cos3\alpha=cos^3\alpha-3cos\alpha\cdot sin^2\alpha\), получим

\(\frac13cos^3\alpha\cdot sin3\alpha+\frac13sin^3\alpha\cdot cos3\alpha=\frac13cos^3\alpha(3cos^2\alpha\cdot sin\alpha-sin^3\alpha)+ \\+\frac13sin^3\alpha(cos^3\alpha-3cos\alpha\cdot sin^2\alpha)=cos^5\alpha\cdot sin\alpha-cos\alpha\cdot sin^5\alpha= \\=sin\alpha cos\alpha(cos^4\alpha-sin^4\alpha)=\frac12sin2\alpha(cos^2\alpha-sin^2\alpha)(cos^2\alpha+sin^2\alpha)= \\= \frac12sin2\alpha\cdot cos2\alpha=\frac14sin4\alpha.\)

Ответ: \(\frac14sin4\alpha\).

Пример 2. Упростить выражение: \((1+tg\alpha)(1+ctg\alpha)-\frac1{sin\alpha \cdot cos\alpha}\).

Решение: \((1+tg\alpha)(1+ctg\alpha)-\frac1{sin\alpha \cdot cos\alpha}=(1+\frac{sin\alpha}{cos\alpha})(1+\frac{cos\alpha}{sin\alpha})-\frac1{sin\alpha \cdot cos\alpha}= \\=\frac{cos\alpha+sin\alpha}{cos\alpha}\cdot \frac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha}-\frac1{sin\alpha \cdot cos\alpha}=\frac{(cos\alpha+sin\alpha)^2-1}{sin\alpha\cdot cos\alpha}=\frac{cos^2\alpha+2sin\alpha\cdot cos\alpha+sin^2\alpha-1}{sin\alpha\cdot cos\alpha}= \\=\frac{2sin\alpha\cdot cos\alpha}{sin\alpha\cdot cos\alpha}=2.\)

Ответ: 2.