Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Главная
ЕНТ
Математика
9 класс
Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Выражение, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций, называют тригонометрическим.

Для преобразования выражений используют свойства тригонометрических функций и формулы тригонометрии. При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю.

Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать область допустимых значений преобразуемых выражений.

Пример 1. Упростить: $\frac13cos^3\alpha\cdot sin3\alpha+\frac13sin^3\alpha\cdot cos3\alpha$ .

Решение: Применив формулы $sin3\alpha=3cos^2\alpha\cdot sin\alpha-sin^3\alpha, \ cos3\alpha=cos^3\alpha-3cos\alpha\cdot sin^2\alpha$ , получим

$\frac13cos^3\alpha\cdot sin3\alpha+\frac13sin^3\alpha\cdot cos3\alpha=\frac13cos^3\alpha(3cos^2\alpha\cdot sin\alpha-sin^3\alpha)+ \\+\frac13sin^3\alpha(cos^3\alpha-3cos\alpha\cdot sin^2\alpha)=cos^5\alpha\cdot sin\alpha-cos\alpha\cdot sin^5\alpha= \\=sin\alpha cos\alpha(cos^4\alpha-sin^4\alpha)=\frac12sin2\alpha(cos^2\alpha-sin^2\alpha)(cos^2\alpha+sin^2\alpha)= \\= \frac12sin2\alpha\cdot cos2\alpha=\frac14sin4\alpha.$

Ответ: $\frac14sin4\alpha$ .

Пример 2. Упростить выражение: $(1+tg\alpha)(1+ctg\alpha)-\frac1{sin\alpha \cdot cos\alpha}$ .

Решение: $(1+tg\alpha)(1+ctg\alpha)-\frac1{sin\alpha \cdot cos\alpha}=(1+\frac{sin\alpha}{cos\alpha})(1+\frac{cos\alpha}{sin\alpha})-\frac1{sin\alpha \cdot cos\alpha}= \\=\frac{cos\alpha+sin\alpha}{cos\alpha}\cdot \frac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha}-\frac1{sin\alpha \cdot cos\alpha}=\frac{(cos\alpha+sin\alpha)^2-1}{sin\alpha\cdot cos\alpha}=\frac{cos^2\alpha+2sin\alpha\cdot cos\alpha+sin^2\alpha-1}{sin\alpha\cdot cos\alpha}= \\=\frac{2sin\alpha\cdot cos\alpha}{sin\alpha\cdot cos\alpha}=2.$

Ответ: 2.

Вопросы

Упростите выражение.

$\frac{2cos^2\alpha}{1-sin\alpha}+2cos(\frac{\pi}2+\alpha )$
Найдите значение выражения.

$\frac{3(cos20^\circ-sin20^\circ)}{\sqrt2sin25^\circ}$
Вычислите.

$\frac{sin75^\circ+sin45^\circ}{2sin300^\circ}$
Упростите выражение $\frac{sin\alpha-0,5sin2\alpha \cdot cos\alpha}{sin^2\alpha}$

и найдите его значение при $\alpha=-\frac{\pi}6$ .
Упростите.

$(sinx-cosx)^2-sin2x$
Найдите $\frac{3sin6\alpha}{5cos3\alpha}, если \ sin3\alpha=0,7.$
Упростите выражение.

$tgx-ctgx$
Вычислите.

$sin47^\circ+sin61^\circ-sin11^\circ-sin25^\circ$
Вычислите $16sin\frac{\alpha}2\cdot sin\frac{3\alpha}2, если \ cos\frac{\alpha}2=\frac34$ .
Упростите выражение.

$\frac{cos^22x}{ctgx-tgx}$
Результатом упрощения каких выражений является 1?
Упростите.

$\frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha-\sin^2\alpha}$ – ctg( $\pi+\alpha$ )

Сообщить об ошибке

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Сканируй QR код, скачивай приложение и учись вместе с нами

Сканируй QR код, скачивай приложение
и учись вместе с нами