Векторы и координаты

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.

• Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается как \(\vec i\).
• Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается как \(\vec j\).

Векторы \(\vec i \ и \ \vec j\) ортогональны.

Любой вектор \(\vec a\) можно разложить по координатным векторам: \(\vec a = a_x \cdot \vec i+a_y \cdot \vec j\).

Чтобы найти координаты вектора \(\vec{ AB}\), если заданы координаты его начала и конца, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае, если точки заданы на плоскости и имеют соответственно координаты \(A(x_A;y_A) \ и \ B(x_B;y_B)\), то координаты вектора \(\vec{AB}\) вычисляются по формуле: \(\vec{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A)\).

Пример 1. Даны точки \(A(5;1) \ и \ B(4;-3)\). Найти координаты вектора \(\vec{AB}\).

Решение: Точки заданы на плоскости, поэтому координаты вектора \(\vec{AB}\) вычислим по формуле:

\(\vec{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A)\). Подставляя координаты заданных точек, получим: \(\vec{AB}=(4-5; -3-1)=(-1;-4)\).

Чтобы найти сумму векторов \(\vec a+\vec b\), которые заданы координатами \(\vec a=(a_x;a_y) \ и \ \vec b=(b_x;b_y)\), необходимо сложить соответствующие координаты этих векторов, то есть \(\vec a+\vec b=(a_x+b_x;a_y+b_y)\).

Чтобы найти разность векторов \(\vec a-\vec b\), заданных на плоскости координатами \(\vec a=(a_x;a_y) \ и \ \vec b=(b_x;b_y)\), необходимо вычесть из координат первого вектора соответствующие координаты второго, то есть \(\vec a-\vec b=(a_x-b_x;a_y-b_y)\).

Чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты \(\vec a=(a_x;a_y)\), его длина вычисляется по формуле: \(|\vec a|=\sqrt{a^2_x+a^2_y}\).

Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, необходимо вычислить сумму произведений соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами \(\vec a=(a_x;a_y) \ и \ \vec b=(b_x;b_y)\), имеет место формула: \((\vec a, \vec b)=a_x\cdot b_x+a_y \cdot b_y\).

Чтобы найти угол \(\alpha\) между векторами, нужно вначале найти косинус угла, а затем от него найти арккосинус, то есть: \(\alpha=arccos(cos\alpha)\). Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин. В случае, если векторы заданы на плоскости и имеют координаты \(\vec a=(a_x;a_y),\vec b=(b_x;b_y)\), то косинус между ними вычисляется по формуле: \(cos\alpha=\frac{(\vec a,\vec b)}{|\vec a| \cdot |\vec b|}=\frac{a_x\cdot b_x+a_y \cdot b_y}{\sqrt{a^2_x+a^2_y}\cdot \sqrt{b^2_x+b^2_y}}\).

Для того чтобы вектор \(\vec a=(a_x;a_y)\) был коллинеарным вектору \(\vec b=(b_x;b_y)\), необходимо, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны, то есть их координаты удовлетворяли условию \(\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}\).

Пример 2. Даны два вектора \(\vec a=(2;-3) \ и \ \vec b=(-1;m)\). При каком значении эти векторы будут коллинеарными?

Решение: Для того чтобы векторы \(\vec a \  и \ \vec b\) были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональными, то есть удовлетворяли условию: \(\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}\).

Подставим координаты заданных векторов в это равенство и найдем значение \(m\): \(\frac2{-1}=\frac{-3}{m}\). По пропорции, имеем: \(2\cdot m=(-1)\cdot (-3) \Rightarrow 2m=3 \Rightarrow m=\frac32=1,5\).

Ответ: Векторы \(\vec a \  и \ \vec b\) будут коллинеарными при \(m=1,5\).

Для того чтобы вектор \(\vec a\) был перпендикулярен вектору \(\vec b\), необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю, то есть \((\vec a, \vec b)=0\). В случае, если векторы заданы на плоскости своими координатами \(\vec a=(a_x;a_y) \ и \ \vec b=(b_x;b_y)\), то условие их перпендикулярности примет вид: \((\vec a, \vec b)=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y=0\).