Применение векторов при решении задач

Одним из универсальных приемов решения геометрических задач является метод координат. Кроме этого, часто (особенно при доказательстве различных неравенств) используется векторный метод.

1. Если требуется вычислить расстояние или угол, то надо применять скалярное умножение векторов.
2. При введении векторов можно идти двумя путями: а) выбрать точку, от которой откладываются известные векторы; б) векторы изображать направленными отрезками, связанными с рассматриваемыми в задаче фигурами, не откладывая их от одной точки.
3. Если задача планиметрическая, то целесообразно выделить два неколлинеарных вектора в качестве базисных и остальные векторы выразить через них; если же задача стереометрическая, то в качестве базиса следует выбрать три некомпланарных вектора. При этом введение начальной точки необязательно.
4. В ряде случаев, например при решении задач на многогранные углы, вычисления упрощаются, если ввести единичные векторы, отложенные от вершины многогранного угла. Примеры задач, решаемых векторным методом.

Пример 1. Известно, что скалярное произведение двух векторов \((\vec a,\vec b)=2\), а их длины \(|\vec a|=2, |\vec b|=2\). Найти угол между векторами \(\vec a \ и \ \vec b\).

Решение: Косинус искомого угла: \(cos(\widehat{\vec a, \vec b})=\frac{(\vec a, \vec b)}{|\vec a|\cdot |\vec b|}=\frac2{2\cdot 2}=\frac12 \Rightarrow (\widehat{\vec a, \vec b})=60^\circ\).

Пример 2. Даны три вершины треугольника: \(A(-1;0), B(3;2), C(5;-4)\). Найти \(\angle ABC\).

Решение:

Требуемый \(\angle ABC\) помечен зеленой дугой. Найдем векторы: \(\vec{BA}=(-1-3;0-2)=(-4;-2); \ \vec{BC}=(5-3;-4-2)=(2;-6).\)

Вычислим скалярное произведение: \(\vec{BA}\cdot \vec{BC}=-4\cdot2-2\cdot (-6)=-8+12=4\).

И длины векторов: \(|\vec{BA}|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5; \\|\vec{BC}|=\sqrt{2^2+(-6)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.\)

Косинус угла: \(cos\angle(\vec{BA}\cdot \vec{BC})=\frac{\vec{BA}\cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}|\cdot |\vec{BC}|}=\frac{-4\cdot2-2\cdot(-6)}{\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{2^2+(-6)^2}}=\frac{4}{\sqrt20\cdot \sqrt{40}}=\frac4{20\sqrt2}=\frac1{5\sqrt2}\).

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдем сам угол: \(\angle(\vec{BA};\vec{BC})=arccos\frac1{5\sqrt2}\approx 82^\circ\).

Ответ: \(\angle ABC \approx82^\circ\).