Преобразование плоскости, движение, его свойства

Преобразованием плоскости называют правило, с помощью которого каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости. Если каждой точке плоскости ставится в соответствие некоторая точка из этой же плоскости, и если при этом любая точка плоскости оказывается сопоставленной определенной точке, то говорят, что это отображение плоскости на себя.

Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние, т. е. движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки \(A'\) и \(B'\), что \(|A'B'|=|AB|\)

Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Тождественное отображение является одним из частных случаев движения.

Фигура F' называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением.

Свойства движения

1. При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения).
2. Образом отрезка при движении является отрезок.
3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча – луч.
4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости – плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости – полуплоскость.
5. При движении углы сохраняются, т. е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины.
6. Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно перпендикулярные прямые.
7. Композиция \(\phi ~\circ ~ \psi\) двух движений \(\psi,~\phi\) является движением.
8. Если \(\phi\) – движение, то преобразование \(\phi^{-1}\) также является движением.