Площадь круга и его частей

Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами r и R, в каждую из которых вписан правильный n-угольник.

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус r = 1.

Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность с радиусом R, равна: $S_{B_1B_2...B_n}=n\cdot S_{B_1OB_2}=\frac12n\ OB_1\cdot OB_2\cdot sin\angle B_1OB_2=\frac12n\cdot R^2\cdot sin\angle B_1OB_2$.

Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность с радиусом 1, равна: $S_{A_1A_2...A_n}=n\cdot S_{A_1OA_2}=\frac12n\cdot OA_1\cdot OA_2\cdot sin\angle B_1OB_2=\frac12nR^2\cdot sin\angle B_1OB_2$.

Следовательно, $S_{B_1B_2...B_n}=R^2\cdot S_{A_1A_2...A_n}$.

Поскольку при увеличении n площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность с радиусом 1, стремится к $\pi$, то при увеличении n площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность с радиусом R, стремится к числу $\pi R^2$.

Таким образом, площадь круга с радиусом R, обозначаемая S, равна: $S=\pi R^2$.

Площадь сектора

Сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Рассмотрим круговой сектор, изображенный на рисунке, и обозначим его площадь символом $S(α)$, где буквой $α$ обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина $α$ выражена в градусах, справедлива пропорция $\frac{S(\alpha)}{S}=\frac{\alpha}{360^{\circ}}$, из которой вытекает равенство: $S(\alpha)=\frac{S\cdot \alpha}{360^{\circ}}=\frac{\pi R^2\cdot \alpha}{360^{\circ}}$.

В случае, когда величина $α$ выражена в радианах, справедлива пропорция $\frac{S(\alpha)}{S}=\frac{\alpha}{2\pi}$, из которой вытекает равенство: $S(\alpha)=\frac{S\cdot \alpha}{2\pi}=\frac{\pi R^2\cdot \alpha}{2\pi}=\frac12\alpha R^2$.

Площадь сегмента

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой окружности и стягивающая ее хордой.

Рассмотрим круговой сегмент, изображенный на рисунке, и обозначим его площадь символом $S(α)$, где буквой $α$ обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON, то в случае, когда величина $α$ выражена в градусах, получаем: $S(\alpha)=\frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}-\frac12R^2\cdot sin\alpha=\frac12R^2(\frac{\pi \alpha}{180^{\circ}}-sin\alpha)$.

В случае, когда величина $α$ выражена в радианах, получаем: $S(\alpha)=\frac12\alpha R^2-\frac12R^2\cdot sin\alpha=\frac12R^2(\alpha-sin\alpha)$.