Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» – объемный, пространственный и «μετρεο» – измерять.

Плоскость

Представление о плоскости дает поверхность стола или стены, любая гладкая поверхность. Плоскость как геометрическую фигуру надо представлять себе как бесконечно неограниченную во все стороны поверхность.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т. д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: \(A\in \beta, B\in \beta, M\notin \beta,N\notin \beta\).

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Взаимное расположение прямых в пространстве

1. Прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку. Две прямые в пространстве перпендикулярны, если они пересекаются под прямым углом.

2. Прямые в пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек и через них проходит плоскость.

3. Прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве

1. Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости. Замечание. Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.
2. Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку. Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.
3. Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (Они не пересекаются).

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

1. Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.
2. Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.