+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Геометрическая прогрессия
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число .

Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

  • Если  – все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком числа b.
  • Если – знаки членов геометрической прогрессии чередуются.
  • В случае прогрессию называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Например: 2, 6, 18, 54,… – возрастающая геометрическая прогрессия, .

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле: .

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних: .

Сумма первых членов геометрической прогрессии обычно обозначается как  и при вычисляется по формуле:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это прогрессия, у которой . Для нее определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа .

Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы находим по формуле: .

Пример 1. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 75, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 150. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии.

Решение: По усло­вию, . За­пи­шем эти ра­вен­ства в виде си­сте­мы урав­не­ний на пер­вый член и зна­ме­на­тель про­грес­сии и решим эту си­сте­му:

 

Те­перь найдем вто­рой и тре­тий члены про­грес­сии:

Ответ: 25; 50; 100.



Вопросы

  1. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.

  2. Имеется шесть последовательных членов геометрической прогрессии. Сумма первых трех в восемь раз меньше суммы последних трех. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

  3. Найдите сумму ряда.

    \(1 - 0,37 + 0,{37^2} - 0,{37^3} + \ldots\)

  4. В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых шести членов равна 63. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

  5. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем \(b_n=160\cdot 3^n\). Най­ди­те сумму пер­вых ее 4 чле­нов.

  6. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия \(\{b_n\}\), для ко­то­рой \(b_5 = −14, b_8 = 112\). Най­ди­те зна­ме­на­тель про­грес­сии.

  7. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: −256; 128; −64;…

    Най­ди­те сумму пер­вых семи ее чле­нов.

  8. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, явно определенной \(b_n=\frac{2^n}{3^{n+1}}\).

  9. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии \(\{b_n\}\) в три раза больше ее первого члена. Найдите отношение \(\frac{b_2}{b_4}\).

  10. В геометрической прогрессии (b\(_n\)): b\(_1\) = 72\(\sqrt3\), b\(_3\) = 8\(\sqrt3\).

    Знаменатель геометрической прогрессии равен

  11. Если первый член геометрической прогрессии равен 3 и знаменатель равен 2, то значение суммы первых четырех членов данной прогрессии принадлежит промежутку

  12. Если первый член геометрической прогрессии равен 3 и знаменатель равен 2, то значение суммы первых четырех членов данной прогрессии принадлежит промежутку

  13. Если пятый член геометрической прогрессии равен 162, знаменатель равен 3, тогда сумма b\(_3\) + b\(_7\) будет оканчиваться цифрой

Сообщить об ошибке