Формулы тригонометрических функции двойного и половинного угла

Формулы двойных и кратных углов

1. Синус двойного угла: \(sin 2\alpha = 2sin \alpha \cdot cos \alpha\).
2. Косинус двойного угла: \(cos 2\alpha = {cos ^2}\alpha - {sin ^2}\alpha = 1 - 2\,{sin ^2}\alpha = 2\,{cos ^2}\alpha - 1\).
3. Тангенс двойного угла: \(tg 2\alpha = \large\frac{{2tg \alpha }}{{1 - {{tg }^2}\alpha}}\normalsize = \large\frac{2}{{ctg \alpha -tg \alpha }}\normalsize\).
4. Котангенс двойного угла: \(ctg 2\alpha = \large\frac{{{{ctg }^2}\alpha - 1}}{{2ctg\alpha}}\normalsize = \large\frac{{ctg \alpha -tg \alpha }}{2}\normalsize\).
5. Синус тройного угла: \(sin 3\alpha = 3sin\alpha - 4\,{sin^3} \alpha = 3\,{cos ^2}\alpha\cdot sin \alpha - {sin ^3}\alpha\).
6. Косинус тройного угла: \(cos 3\alpha = 4\,{cos^3} \alpha - 3cos \alpha = {cos ^3}\alpha - 3\,{sin ^2}\alpha \cdot cos \alpha\).
7. Тангенс тройного угла: \(tg 3\alpha = \large\frac{{3tg \alpha - {{tg }^3}\alpha }}{{1 - 3\,{{tg }^2}\alpha }}\normalsize\).
8. Котангенс тройного угла: \(ctg 3\alpha = \large\frac{{\,{ctg^3}\alpha - 3ctg \alpha }}{{3\,{{ctg }^2}\alpha - 1}}\normalsize\).

Формулы половинного угла

1. Синус половинного угла: \(sin \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 - cos \alpha }}{2}\normalsize}\). Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол \(\frac{\alpha}2\) в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.
2. Косинус половинного угла: \(cos \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 + cos \alpha }}{2}\normalsize}\).
3. Тангенс половинного угла: \(tg \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 - cos \alpha }\normalsize}{{1 + cos \alpha }}} = \large\frac{{sin \alpha }}{{1 + cos \alpha }}\normalsize = \large\frac{{1 - cos \alpha }}{{sin \alpha }}\normalsize \).
4. Котангенс половинного угла: \(ctg \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 + cos \alpha }\normalsize}{{1 - cos \alpha }}} = \large\frac{{sin \alpha }}{{1 - cos \alpha }}\normalsize = \large\frac{{1 + cos \alpha }}{{sin \alpha }}\normalsize\).
5. Выражение синуса через тангенс половинного угла: \(sin\alpha = \large\frac{{2tg \frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
6. Выражение косинуса через тангенс половинного угла: \(cos\alpha = \large\frac{{1 - {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
7. Выражение тангенса через тангенс половинного угла: \(tg\alpha = \large\frac{{2tg \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
8. Выражение котангенса через тангенс половинного угла: \(ctg\alpha = \large\frac{{1 - {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{2tg \frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).

Фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни

1. Квадрат синуса: \({sin^2}\alpha = \large\frac{{1 - cos 2\alpha }}{2}\normalsize\).
2. Куб синуса: \({sin^3}\alpha = \large\frac{{3sin \alpha - sin 3\alpha }}{4}\normalsize\).
3. Квадрат косинуса: \({cos^2}\alpha = \large\frac{{1 + cos 2\alpha }}{2}\normalsize\).
4. Куб косинуса: \({cos^3}\alpha = \large\frac{{3cos \alpha + cos 3\alpha }}{4}\normalsize\).
5. Квадрат тангенса: \({tg^2}\alpha = \large\frac{{{{sin }^2}\alpha }}{{{{cos }^2}\alpha}}\normalsize = \large\frac{{1 - cos 2\alpha }}{{1 + cos 2\alpha }}\normalsize\).
6. Куб тангенса: \({tg^3}\alpha = \large\frac{{{{sin }^3}\alpha }}{{{{cos }^3}\alpha}}\normalsize = \large\frac{{3sin \alpha - sin 3\alpha }}{{3cos \alpha + cos 3\alpha}}\normalsize\).