Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Сумма (и разность) тригонометрических функций преобразуется в произведение функций от других аргументов по следующим формулам, которые выводятся из теорем сложения, а также определений тангенса и котангенса.

1. Сумма синусов: \(sin \alpha + sin \beta = 2sin \large\frac{{\alpha + \beta }}{2}\normalsize \cdot cos \large\frac{{\alpha - \beta }}{2}\normalsize\).
2. Разность синусов: \(sin \alpha - \sin \beta = 2cos \large\frac{{\alpha + \beta }}{2}\normalsize \cdot sin \large\frac{{\alpha - \beta }}{2}\normalsize\).
3. Сумма косинусов: \(cos \alpha + cos \beta = 2cos \large\frac{{\alpha + \beta }}{2}\normalsize \cdot cos \large\frac{{\alpha - \beta }}{2}\normalsize\).
4. Разность косинусов: \(cos \alpha - cos \beta = -2sin \large\frac{{\alpha + \beta }}{2}\normalsize \cdot sin \large\frac{{\alpha - \beta }}{2}\normalsize\).
5. Сумма тангенсов: \(tg\alpha + tg \beta = \large\frac{{sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{cos \alpha \cdot cos \beta }}\normalsize\).
6. Разность тангенсов: \(tg\alpha - tg \beta = \large\frac{{sin \left( {\alpha - \beta } \right)}}{{cos \alpha \cdot cos \beta }}\normalsize\).
7. Сумма котангенсов: \(ctg\alpha +ctg \beta = \large\frac{{sin \left( {\beta + \alpha } \right)}}{{sin \alpha \cdot sin \beta }}\normalsize\).
8. Разность котангенсов: \(ctg\alpha -ctg \beta = \large\frac{{sin \left( {\beta - \alpha } \right)}}{{sin \alpha \cdot sin \beta }}\normalsize\).
9. Сумма косинуса и синуса: \(cos\alpha + sin \alpha = \sqrt 2 cos \left( {\large\frac{\pi }{4}\normalsize - \alpha } \right) = \sqrt 2 sin\left( {\large\frac{\pi }{4}\normalsize + \alpha } \right)\).
10. Разность косинуса и синуса: \(cos\alpha - sin \alpha = \sqrt 2 sin \left( {\large\frac{\pi }{4}\normalsize - \alpha } \right) = \sqrt 2 cos\left( {\large\frac{\pi }{4}\normalsize + \alpha } \right)\).
11. Сумма тангенса и котангенса: \(tg\alpha + ctg \beta = \large\frac{{cos \left( {\alpha - \beta } \right)}}{{cos \alpha \cdot sin \beta }}\normalsize\).
12. Разность тангенса и котангенса: \(tg\alpha - ctg \beta = -\large\frac{{cos \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{cos \alpha \cdot sin \beta }}\normalsize\).
13. \(1 + cos \alpha = 2\,{cos ^2}\large\frac{\alpha }{2}\normalsize\).
14. \(1 - cos \alpha = 2\,{sin ^2}\large\frac{\alpha }{2}\normalsize\).
15. \(1 + sin \alpha = 2\,{cos ^2}\left( {\large\frac{\pi }{4} - \frac{\alpha }{2}\normalsize} \right)\).
16. \(1 - sin \alpha = 2\,{sin ^2}\left( {\large\frac{\pi }{4} - \frac{\alpha }{2}\normalsize} \right)\).