Формулы суммы и разности двух углов

Формулы сложения выражают синус, косинус, тангенс и котангенс суммы и разности двух углов поворота \(\alpha \ и\ \beta\) через тригонометрические функции этих углов.

1. Синус суммы: \(sin \left( {\alpha + \beta } \right) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta\).
2. Синус разности: \(sin \left( {\alpha - \beta } \right) = sin \alpha \cdot cos \beta - cos \alpha \cdot sin \beta\).
3. Косинус суммы: \(cos(α+β)=cosα \cdot cosβ−sinα \cdot sinβ\).
4. Косинус разности: \(cos(α−β)=cosα \cdot cosβ+sinα \cdot sinβ\).
5. Тангенс суммы: \(tg \left( {\alpha + \beta } \right) = \large\frac{{tg \alpha + tg \beta }}{{1 - tg \alpha \cdot tg \beta }}\normalsize\).
6. Тангенс разности: \(tg \left( {\alpha - \beta } \right) = \large\frac{{tg \alpha -tg\beta }}{{1 + tg \alpha \cdot tg \beta }}\normalsize\).
7. Котангенс суммы: \(ctg \left( {\alpha + \beta } \right) = \large\frac{{1 - tg \alpha \cdot tg \beta }}{{tg \alpha + tg \beta }}\normalsize\).
8. Котангенс разности: \(ctg \left( {\alpha - \beta } \right) = \large\frac{{1 + tg \alpha \cdot tg \beta }}{{tg \alpha - tg \beta }}\normalsize\).

Пример. Вы­чис­лите: \(sin75^\circ; \ cos75^\circ\).

Ре­ше­ние:

1) При­ме­няя фор­му­лу си­ну­са суммы двух углов, имеем:

\(sin75^\circ=sin(45^\circ+30^\circ)=sin45^\circ \cdot cos30^\circ+cos45^\circ\cdot sin 30^\circ= \\=\frac{\sqrt2}2\cdot \frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot \frac12=\frac{\sqrt6}4+\frac{\sqrt2}4=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4.\)

2) При­ме­няя фор­му­лу ко­си­ну­са суммы двух углов, имеем:

\(cos75^\circ=cos(45^\circ+30^\circ)=cos45^\circ \cdot cos30^\circ-sin45^\circ\cdot sin 30^\circ= \\=\frac{\sqrt2}2\cdot \frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt2}2\cdot \frac12=\frac{\sqrt6}4-\frac{\sqrt2}4=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4.\)

Ответ: \(sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4; \ cos 75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\).