Вероятность события. Частота случайного события

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти. Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.

Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов \(P(A)=\frac{m}{n}\), где P(A) – вероятность события A, m – число благоприятствующих событию A исходов, n – общее число возможных исходов. Отношение \(\frac{m}{n}\) также называют частотой (относительной частотой) события A.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице Р(А) = 1, а вероятность невозможного равна нулю: Р(А) = 0. Таким образом, значение вероятности любого события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: \(0\le P(A)\le 1\).

Пример 1. Бросается игральный кубик, какова вероятность того, что выпадет число 4?

Решение: у кубика 6 сторон, выпасть может любая из них, число всех исходов равно 6. Число 4 может выпасть только в одном случае – число благоприятствующих исходов равно 1. Тогда \(P(A)=\frac16\).

Пример 2. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

Решение: так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возможных случаев, т. е. \(m = n = 10 \ и \ P(A) = 1\). В этом случае А достоверно.

Пример 3. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение: синих шаров в урне нет, т. е. \(m = 0, \ a \ n = 15\). Следовательно, \(P(A)=\frac{0}{15}=0\). В данном случае событие А – невозможное.

Пример 4. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

Решение: здесь \(m = 4, n = 12 \ и \ P(A)=\frac4{12}=\frac13\).

Пример 5. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало больше трех очков.

Решение: если бросать кубик, то может выпасть 1 или 2, или 3, или 4, или 5, или 6, т. е. получается, что всего 6 различных вариантов (исходов). Подсчитаем количество вариантов, когда выпадет больше, чем 3. Это 4 или 5, или 6, т. е. 3 варианта – благоприятные исходы. Значит, \(P(A)=\frac36=0,5\).