Трапеция

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны попарно параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

\(MN=\frac{AD+BC}2\).

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций:

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной).
• Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

1. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

2. Треугольники \(AOD \ и\ COB\), образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия \(k=\frac{AD}{BC}\). Отношение площадей этих треугольников есть k\(^2\).

3. Треугольники \(ABO\ и\ DCO\), образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

4. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

5. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

6. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

7. Диагонали трапеции \(d_1\ и\ d_2\) связаны со сторонами соотношением:

​​​​​​​\(d_1^2 + d_2^2 = 2ab + c^2 + d^2\).

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

​​​​​​​

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

​​​​​​​

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом \(r\) и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка – \(a\) и \(b\), то \(r=\sqrt{ab}\)​​​​​​​.

​​​​​​​​​​​​​​