Рациональное неравенство. Метод интервалов

Рациональным неравенством с одной переменной \(x\) называют неравенство вида \(f(x) – рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной \(x\) и с помощью математических действий, т. е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Метод интервалов основан на свойстве дробно-рациональной функции: дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Для решения неравенств методом интервалов необходимо:

• найти область определения и нули функции левой части неравенства;
• отметить нули функции на координатной прямой;
• определить знаки значений функции на каждом полученном интервале;
• выбрать интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства. Записать ответ.

Пример. Решите неравенство: \(\frac1{x^2-5x+6}\le\frac12\).

Решение: Упрощаем неравенство путем равносильных преобразований: \(\frac1{x^2-5x+6}-\frac12\le0 \Leftrightarrow \frac{2-(x^2-5x+6)}{2(x^2-5x+6)}\le0 \Leftrightarrow \frac{-x^2+5x-4}{x^2-5x+6}\le0 \Leftrightarrow \frac{x^2-5x+4}{x^2-5x+6}\ge0 \). Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид: \(\frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)}\ge0\).

Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений \((x-4)(x-1)=0 \ и\ (x-2)(x-3)=0\). Из первого получаем: \(x_1=4,x_2=1\). Из второго получаем: \(x_3=2, x_4=3\). Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки \(x_1\) и \(x_2\) обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки \(x_3\) и \(x_4\) – светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):

Определяем теперь знаки выражения \(\frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)}\) на полученных промежутках (подставляем любое значение \(x\) из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:

Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения:

\(x\in(-\infty;1]\cup(2;3)\cup[4;+\infty)\).