Прямоугольник, ромб и квадрат

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника. Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

Свойства прямоугольника

1. Противоположные стороны прямоугольника равны.
2. Каждый угол прямоугольника равен 90°.
3. Значит, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
4. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
5. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.
6. Накрест лежащие углы при диагонали равны.
7. Диагонали прямоугольника равны.
8. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности.
9. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Признаки прямоугольника

1. Если три угла четырехугольника прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником.
2. Если один угол параллелограмма прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны и для квадрата.

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны.
2. Противоположные стороны квадрата параллельны.
3. Сумма углов квадрата равна 360°.
4. Диагонали квадрата имеют одинаковые длины.
5. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам.
6. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружностей.
7. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружностей.
8. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные, и прямоугольные.

Признаки квадрата

1. Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.
2. Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Формулы определения длины диагонали квадрата:

\(d=a\sqrt{2}; \ d=\sqrt{2S}; \ d=2R; \ d=2r\sqrt{2}\).

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Свойства ромба

1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.
2. Противолежащие стороны равны.
3. Противоположные углы равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
6. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4:

7. Диагонали перпендикулярны.
8. Диагонали являются биссектрисами его углов.
9. Центром вписанной в ромб окружности будет точка пересечения его диагоналей.

Признаки ромба

1. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб.
2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб.

Формулы определения длины стороны ромба:

\(a=\frac{S}{h_a}; \ a=\sqrt{\frac{S}{sin\alpha}}; \ a=\frac{S}{2r}; \ a=\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\).

​​​​​​​

Формулы определения длины диагонали ромба:

\(d_1=a\sqrt{2-2cos\beta}; \ d_2=a\sqrt{2+2cos\beta};\ d_1=\sqrt{4a^2-d_2^2}; \ d_2=\sqrt{4a^2-d_1^2}\).