Преобразование выражений, содержащих квадратный корень

Используя свойства квадратного корня, можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел, равен произведению квадратных корней из этих чисел. Используя это свойство арифметического квадратного корня, можно выносить из-под корня множитель.

Например: \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2\).

Существует операция внесения множителя под знак корня. Эта операция является обратной к операции вынесения множителя из-под знака корня. В данном случае мы осуществляем преобразование следующего вида: \(a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}\).

Необходимо соблюдать условие, что a и b – неотрицательные числа.

Например: \(4\sqrt3=\sqrt{4^2\cdot3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}\).

Пример 1. Упростить выражение: \(\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}; \ x,y>0\).

Решение: \(\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x})^2+2\sqrt{xy}+(\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\).

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют обычно освобождением от иррациональности в знаменателе.

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:

1. Разложить знаменатель дроби на множители.
2. Если знаменатель имеет вид \(\sqrt{a}\) или содержит множитель \(\sqrt{a}\), то числитель и знаменатель следует умножить на \(\sqrt{a}\). Если знаменатель имеет вид \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) или \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)  или на  \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\). Числа \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) и \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) называют сопряженными.
3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменатели дроби: \(\frac{33}{\sqrt{17}-\sqrt{6}}\).

Решение: \(\frac{33}{\sqrt{17}-\sqrt{6}}=\frac{33(\sqrt{17}+\sqrt{6})}{(\sqrt{17}+\sqrt{6})(\sqrt{17}-\sqrt{6})}=\frac{33(\sqrt{17}+\sqrt{6})}{17-6}=\frac{33(\sqrt{17}+\sqrt{6})}{11}=3(\sqrt{17}+\sqrt{6})\).