Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

\(a=\frac{\sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}{2}; \ b=\frac{\sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4a^2}}{2}; \ a=\frac{h_b}{sin\alpha}; \ b=\frac{h_a}{sin\alpha}\).

Диагональю параллелограмма называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

\(d_1=\sqrt{a^2+b^2-2abcos\beta};\ \ \ \ \ \ \ \ d_2=\sqrt{a^2+b^2+2abcos\beta}; \\ d_1=\sqrt{2a^2+2b^2-d_2^2};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d_2=\sqrt{2a^2+2b^2-d_1^2}.\)

Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

\(P=2(a+b); \ \ \ \ P=2a+\sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4a^2}; \ \ \ \ P=2(b+\frac{h_b}{sin\alpha})\).

Свойства параллелограмма

Диагональю параллелограмма называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

2. Противоположные углы параллелограмма равны.

3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

4. Сумма углов четырехугольника, прилегающих к любой стороне, равна 180°.
5. Сумма всех углов равна 360°.
6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
7. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: \(d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)\).

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

9. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника.

Признаки параллелограмма

1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2. Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.
4. Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.