
Скачай приложение iTest
Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате
Основное тригонометрическое тождество и его следствия
cosα=ACAB (1); sinα=BCAB (2); tgα=BCAC (3);
Используя равенства (1), (2) и (3), имеем: sinα⋅1cosα=BCAB⋅ABAC=BCAC=tgα. Итак, tgα=sinαcosα.
Соответственно, ctgα=cosαsinα.
Получаем: tgα=1ctgα; ctgα=1tgα.
Далее, используя определения синуса, косинуса и теорему Пифагора, находим:
sin2α+cos2α=BC2AB2+BC2AB2=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1 (4)
Итак, имеем тождество: sin2α+cos2α=1.
Используя тождество (4), получаем: 1+tg2α=1+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α=1cos2α.
Таким образом: 1+tg2α=1+1ctg2α=1cos2α.
Аналогично выводится тождество: 1+1tg2α=1+ctg2α=1sin2α.
Пример 1. Вычислить значение cosα и tgα, если sinα=12.
Решение:
Так как sin2α+cos2α=1, то
cosα=√1−sin2α=√1−(12)2=√32tgα=sinαcosα=1⋅22⋅√3=1√3=√33.
Теорема. Для любого острого угла α:
\sin (90° - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha
Пример 2. Найти значения sin 45°, cos 45° и tg 45°.
Решение: Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник.
В нем каждый острый угол равен 45°. Пусть его катеты равны а. По теореме Пифагора, его гипотенуза равна a\sqrt{2}.
Теперь, по определению, имеем:
\sin 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ {\rm tg}\, 45° = \frac{a}{a} = 1
Значение тригонометрических функций некоторых углов
-
Найдите числовое значение выражения.
3{\rm tg}\frac{\pi}{6}