Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Основное тригонометрическое тождество и его следствия

Конспект

cosα=ACAB   (1); sinα=BCAB   (2); tgα=BCAC   (3);

Используя равенства (1), (2) и (3), имеем: sinα1cosα=BCABABAC=BCAC=tgα. Итак, tgα=sinαcosα.

Соответственно, ctgα=cosαsinα.

Получаем: tgα=1ctgα;   ctgα=1tgα.

Далее, используя определения синуса, косинуса и теорему Пифагора, находим:

sin2α+cos2α=BC2AB2+BC2AB2=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1  (4)

Итак, имеем тождество: sin2α+cos2α=1.

Используя тождество (4), получаем: 1+tg2α=1+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α=1cos2α.

Таким образом: 1+tg2α=1+1ctg2α=1cos2α.

Аналогично выводится тождество: 1+1tg2α=1+ctg2α=1sin2α.

Пример 1. Вычислить значение cosα и tgα, если sinα=12.

Решение:

Так как sin2α+cos2α=1, то

cosα=1sin2α=1(12)2=32tgα=sinαcosα=1223=13=33.

Теорема. Для любого острого угла α:

\sin (90° - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha

Пример 2. Найти значения sin 45°, cos 45° и tg 45°.

Решение: Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник.

В нем каждый острый угол равен 45°. Пусть его катеты равны а. По теореме Пифагора, его гипотенуза равна a\sqrt{2}.

Теперь, по определению, имеем:

\sin 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ {\rm tg}\, 45° = \frac{a}{a} = 1

Значение тригонометрических функций некоторых углов

maxresdefault



Вопросы
  1. Найдите числовое значение выражения.

    3{\rm tg}\frac{\pi}{6}

Сообщить об ошибке