Квадратный корень. Приближенное значение квадратного корня

Иррациональное число – это не рациональное вещественное число, т. е. оно не может быть представлено как дробь $\frac{m}{n}$ (как отношение двух целых чисел), где m – целое число, n – натуральное число. Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Иррациональное число не может иметь точного значения. Например, квадратный корень из двух – является числом иррациональным.

Обозначается множество иррациональных чисел большой английской буквой $I$.

Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают буквой $R$.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. $\displaystyle (\sqrt{a}=x,\ {{x}^{2}}=a;\ x,a\ge 0)$.

Приближенными значениями квадратного корня из данного числа с точностью до единицы называются два последовательных натуральных числа, из которых квадрат первого меньше, а квадрат второго больше данного числа.

Первое из этих чисел называется приближенным значением корня с недостатком, второе – приближенным значением корня с избытком.

Записываются приближенные значения корня так: $\sqrt{10}\approx3 (\ с \ нед.); \ \sqrt{10}\approx4 (\ с \ изб.)$.

Пример 1. Найдем приближенное значение $\sqrt3$ с двумя знаками после запятой. Оценим подкоренное выражение 3 сначала целыми числами. Так как 1 < 3 < 4, то $\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4$ или $1<\sqrt3<2$. Поэтому десятичная запись числа $\sqrt3$ начинается с цифры 1, т. е. $\sqrt3\approx1,...$

Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3;... до тех пор, пока вновь не оценим такими числами подкоренное выражение 3. Имеем: 1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1,82 = 3,24. Так как 2,89 < 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < $\sqrt3$ < 1,8 . Значит, $\sqrt3\approx1,7...$

Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,71; 1,72; 1,73;..., вновь оценивая подкоренное выражение 3. Имеем: 1,712 = 2,9241; 1,722 = 2,9584; 1,732 = 2,9929; 1,742 = 3,0276. Так как 1,732 < 3 < 1,742, то 1,73 < $\sqrt3$ < 1,74. Поэтому $\sqrt3\approx1,73$.

Пример 2. Вычислить: $\sqrt{138384}$.

Решение: Разобьем число на грани: 13^'83^'84 – их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата – 3, так как 3² < 13, тогда как 4² > 13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим A = 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим a = 6. Подберем теперь такую наибольшую цифру x, чтобы произведение двузначного числа ax на x было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как 67 · 7 = 469 – это меньше 483, тогда как 68 · 8 = 544 – это больше 483. Итак, вторая цифра результата – 7.

Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим b = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 37, получим B = 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру y, чтобы произведение трехзначного числа by на y не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как 742 · 2 = 1484. Цифра 2 – последняя цифра результата. В ответе получили 372.

$\sqrt{138384}=372$

Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность.