+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Тождественное преобразование выражений
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.

Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:

  1. величина допустимых изменений буквенных величин;
  2. область допустимых значений каждой из буквенных величин.

Первое из этих требований является обязательным при всех преобразованиях, имеющих целью упрощение выражения или приведение его к нужному виду.

Пример 1. Разложим на множители трехчлен: \(9x^2 + 30x + 25\).

Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения 3x, третье – квадрат числа 5. Так как второе слагаемое представляет собой удвоенное произведение 3x и 5, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы 3x и 5: \(9x^2 + 30x + 25 = (3x)^2 + 2\cdot3x\cdot5 + 5^2 = (3x + 5)^2\).

Пример 2. Упро­стим вы­ра­же­ние \(\begin{aligned} \frac{9x^2-3xy+y^2}{3x-y}+\frac{9x^2+3xy+y^2}{3x+y} \end{aligned}\).

Вы­ра­же­ния в чис­ли­те­лях не яв­ля­ют­ся пол­ны­ми квад­ра­та­ми, т. к. у них от­сут­ству­ет удво­е­ние про­из­ве­де­ния. У зна­ме­на­те­лей нет общих мно­жи­те­лей, по­это­му они про­сто пе­ре­мно­жа­ют­ся для по­лу­че­ния наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля, а допол­ни­тель­ным мно­жи­те­лем для каж­дой из дро­бей яв­ля­ет­ся зна­ме­на­тель дру­гой дроби.

\(\begin{aligned} \frac{{9x^2-3xy+y^2}^{\backslash(3x+y)}}{3x-y}+\frac{{9x^2+3xy+y^2}^{\backslash(3x-y)}}{3x+y} \end{aligned}\)\(\begin{aligned}=\frac{(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)+(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)}{(3x-y)(3x+y)}\end{aligned}\).

Вспом­ним фор­му­лу суммы кубов:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

В нашем же слу­чае вы­ра­же­ния в чис­ли­те­ле сво­ра­чи­ва­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

\((3x+y)(9x^2-3xy+y^2)=(3x+y)((3x)^2-3xy+y^2)=(3x)^3+y^3\), вто­рое вы­ра­же­ние ана­ло­гич­но.

Имеем:

\(\begin{aligned} \frac{(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)+(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)}{(3x-y)(3x+y)} \end{aligned}\)\(\begin{aligned} =\frac{27x^3+y^3+27x^3-y^3}{(3x-y)(3x+y)}=\frac{54x^3}{(3x-y)(3x+y)}=\frac{54x^3}{9x^2-y^2} \end{aligned}\).



Вопросы

  1. Вычислите.

    \((\frac{97^3+83^3}{180}-97\cdot 83):(35^2-28^2)\)

  2. Упростите выражение.

    \(\frac{x^2+\frac1{x}}{x+\frac1{x}-1}\)

  3. Разложите на множители.

    \(a^3+a^2+4\)

  4. Разложите на множители.

    \(x^3-7x-6\)

  5. Упростите выражение.

    \((a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)\)

  6. Упростите.

    \((a+8)^2-2(a+8)(a-2)+(a-2)^2\)

  7. Упростите выражение.

    \((3-2a)^2+(2a+5)^2+(6-4a)(2a+5)\)

  8. Упростите.

    \(\frac{c(c^2-cp+p^2)}{c^3+p^3}-\frac{c}{c+p}\)

  9. Упростите выражение.

    \(\frac{a^6-64}{a^4+4a^2+16}\)

  10. Найдите значение \(t^{24}, \ если \ t=(\frac{2a-b}{a+b}-\frac{2b+a}{b-a})\cdot (\frac{a^2-b^2}{3}:(a^2+b^2))\).

  11. Упростите выражение.

    \(\frac{a-b}{a^2-4}\cdot \frac{a^2+2a}{9a-9b}\)

  12. Разложите на множители.

    x(p – a) + y(a – p) – z(p – a)

  13. Разложите на множители.

    12a\(^2\)b\(^2\) – 6abc + 3ac\(^2\) – 6a\(^2\)bc – c + 2ab

  14. Представьте в виде многочлена.

    (х + у + 2)(х + у – 2)

  15. Разложите на множители.

    5ax\(^2\) – 10ax – bx + 2b – x + 2

Сообщить об ошибке