+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Рациональная дробь. Основное свойство рациональной дроби
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Ра­ци­о­наль­ная (ал­геб­ра­и­че­ская) дробь – дроб­ное вы­ра­же­ние вида \(\frac{P}{Q}\), где \(P\ne0; \ Q\ne0\) – мно­го­чле­ны.

Например: \(\begin{aligned}\frac{5x-3}{2x-1}; \ \frac{3}{x}; \ \frac{xy+1}{x-y}\end{aligned}\).

Область определения рациональной дроби – все значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю.

Ал­геб­ра­и­че­ские дроби яв­ля­ют­ся, в неко­то­ром смыс­ле, обоб­ще­ни­ем обык­но­вен­ных дро­бей, и над ними можно про­во­дить те же опе­ра­ции, что и над обык­но­вен­ны­ми дро­бя­ми.

Ос­нов­ное свой­ство ал­геб­ра­и­че­ской дроби – и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель дроби можно умно­жать и де­лить на один и тот же мно­го­член (од­но­член) или число, от­лич­ное от нуля. Это будет тож­де­ствен­ное пре­об­ра­зо­ва­ние ал­геб­ра­и­че­ской дроби. Вспом­ним, что, как и ранее, де­ле­ние чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля дроби на одно и то же от­лич­ное от нуля вы­ра­же­ние на­зы­ва­ет­ся со­кра­ще­ни­ем.

Ос­нов­ное свой­ство ал­геб­ра­и­че­ской дроби поз­во­ля­ет со­кра­щать дроби и при­во­дить их к наи­мень­ше­му об­ще­му зна­ме­на­те­лю. Для со­кра­ще­ния дро­бей необ­хо­ди­мо пред­ва­ри­тель­но раз­ло­жить на мно­жи­те­ли чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби, а затем раз­де­лить их на общие множите­ли. Т. е. сле­ду­ет вла­деть ме­то­да­ми раз­ло­же­ния мно­го­чле­нов на мно­жи­те­ли.

Например:

\(\begin{aligned}1) \ \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a+b}{a-b}; \end{aligned}\)

\(\begin{aligned}2) \ \frac{2x+y}{6x+3y}=\frac{2x+y}{3(2x+y)}=\frac13\end{aligned}\).



Вопросы

  1. Сократите дробь.

    \(\frac{9ab}{21abc}\)

  2. При каком значении переменной рациональная дробь \(\frac{a(a-4)}{a+15}\) равна нулю?

  3. Cократите дробь.

    \(\frac{4x^6y^7}{36y^6x^8}\)

  4. Сократите дробь.

    \(\frac{p^2-c(2p-c)}{pc-c(2p-c)}\)

  5. Упростите выражение.

    \(\frac{m^2+n^2-k^2+2mn}{m^2-n^2+k^2+2mk}\)

  6. Вычислите значение выражения \(\frac{(a+b)^2-c^2}{a+b+c} \ \), при \(a=-3, \ b=5, \ c=-4\).

  7. Решите уравнение.

    \(ax-2x=a^2-4\)

  8. При каких значениях переменной алгебраическая дробь \(\frac1{(x+1)(x-2)}\) не имеет смысла?

  9. Сократите дробь.

    \(\frac{1-2x+x^2}{x^2-1}\)

  10. Сократите дробь.

    \(\frac{m^2+2mn+1}{m^2+8m+7}\)

  11. Решите уравнение относительно \(x\).

    \(a^2x-b^2x=a^2+2ab+b^2\)

  12. Вычислите значение выражения \(\frac{a^2-8a+16}{ax-4x}, \ при \ a=-5, \ x=-3\).

  13. Сократите дробь.

    \(\frac{4a^2-4ab+b^2}{4b^2-16a^2}\)

  14. Сократите дробь.

    \(\frac{9x^2-6xy+y^2}{15x^2-5xy}\)

  15. Сократите дробь.

    \(\frac{x^4+3x^2+4}{x^2-x+2}\)

Сообщить об ошибке