Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Тождественное преобразование многочленов

Конспект

Тождественные преобразования многочленов:

  • приведение подобных слагаемых;
  • сокращение дробей;
  • разложение разности степеней на произведение суммы и разности меньшей степени;
  • разложение суммы и разности на сумму (разность) первых степеней;
  • возведение в степень суммы и разности;
  • разложение многочлена на множители с использованием его корней;
  • выделение полного квадрата из трехчлена;
  • понижение порядка многочлена путем замены аргумента.

Разложение многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки. Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов

  1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен – он и будет общим числовым множителем.
  2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
  3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример. Разложить на множители: x4y32x3y2+5x2.

Наибольший общий делитель коэффициентов –1, –2 и 5 равен 1.

Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2. Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести x2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести –x2. Получим: x4y32x3y2+5x2=x2(x2y3+2xy25).

Способ группировки

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки

  1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.
  2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.
  3. Вынести в каждой группе общий множитель в виде многочлена за скобки.

Пример. Разложить на множители: xy6+3x2y.

xy – 6 + 3x – 2y = (xy – 2y) + (-6 + 3x)\: =y(x – 2) +3(x-2) = (x-2)(y+3).



Вопросы
  1. Вынесите общий множитель за скобки.

    1,5a^2-3ab+6ac

  2. Разложите на множители.

    x^2- xy + x - xy^2 + y^3 - y^2

  3. Найдите значение выражения 5a^2 - 5ax - 7a + 7x, при a = 4, x= –3.

  4. Решите уравнение.

    x^2 + 7x + 12 = 0

  5. Разложите на множители.

    5x(2a - 3b) + 2y(2a - 3b) + z(2a - 3b)

  6. Разложите на множители.

    8(x - 1) + (x - 1)^2

  7. Упростите.

    \frac{x^2-4x-12}{x^2+xy-6y-6x}

  8. Решите уравнение.

    x^2 – 4x – 5 = 0

  9. Упростите выражение.

    \frac{5^{2n+3}\cdot 5^{2n-1}}{25^{2n+1}}

  10. Сократите дробь.

    \frac{(4^n+4^{n-1})^2}{4^{2n-2}}

  11. Упростите выражение.

    \frac{2^m\cdot 3^{n-1}-2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m\cdot 3^n}

  12. Чему равно значение 3a+7(2b-a), если 2a-7b=3?

Сообщить об ошибке