Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Тождественное преобразование многочленов

Конспект

Тождественные преобразования многочленов:

  • приведение подобных слагаемых;
  • сокращение дробей;
  • разложение разности степеней на произведение суммы и разности меньшей степени;
  • разложение суммы и разности на сумму (разность) первых степеней;
  • возведение в степень суммы и разности;
  • разложение многочлена на множители с использованием его корней;
  • выделение полного квадрата из трехчлена;
  • понижение порядка многочлена путем замены аргумента.

Разложение многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки. Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов

  1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен – он и будет общим числовым множителем.
  2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
  3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример. Разложить на множители: \(-x^4y^3 - 2x^3y^2 + 5x^2\).

Наибольший общий делитель коэффициентов –1, –2 и 5 равен 1.

Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2. Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести x2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести –x2. Получим: \(-x^4y^3 - 2x^3y^2 + 5x^2=-x^2(x^2y^3+2xy^2-5)\).

Способ группировки

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки

  1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.
  2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.
  3. Вынести в каждой группе общий множитель в виде многочлена за скобки.

Пример. Разложить на множители: \(xy-6+3x-2y\).

\(xy – 6 + 3x – 2y = (xy – 2y) + (-6 + 3x)\)\(\: =y(x – 2) +3(x-2) = (x-2)(y+3)\).



Вопросы
  1. Вынесите общий множитель за скобки.

    \(1,5a^2-3ab+6ac\)

  2. Разложите на множители.

    \(x^2- xy + x - xy^2 + y^3 - y^2\)

  3. Найдите значение выражения \(5a^2 - 5ax - 7a + 7x\), при \(a = 4, x= –3\).

  4. Решите уравнение.

    \(x^2 + 7x + 12 = 0\)

  5. Разложите на множители.

    \(5x(2a - 3b) + 2y(2a - 3b) + z(2a - 3b)\)

  6. Разложите на множители.

    \(8(x - 1) + (x - 1)^2\)

  7. Упростите.

    \(\frac{x^2-4x-12}{x^2+xy-6y-6x}\)

  8. Решите уравнение.

    \(x^2 – 4x – 5 = 0\)

  9. Упростите выражение.

    \(\frac{5^{2n+3}\cdot 5^{2n-1}}{25^{2n+1}}\)

  10. Сократите дробь.

    \(\frac{(4^n+4^{n-1})^2}{4^{2n-2}}\)

  11. Упростите выражение.

    \(\frac{2^m\cdot 3^{n-1}-2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m\cdot 3^n}\)

  12. Чему равно значение \(3a+7(2b-a)\), если \(2a-7b=3\)?

Сообщить об ошибке