Тождественное преобразование многочленов

Тождественные преобразования многочленов:

• приведение подобных слагаемых;
• сокращение дробей;
• разложение разности степеней на произведение суммы и разности меньшей степени;
• разложение суммы и разности на сумму (разность) первых степеней;
• возведение в степень суммы и разности;
• разложение многочлена на множители с использованием его корней;
• выделение полного квадрата из трехчлена;
• понижение порядка многочлена путем замены аргумента.

Разложение многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки. Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов

1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен – он и будет общим числовым множителем.
2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример. Разложить на множители: \(-x^4y^3 - 2x^3y^2 + 5x^2\).

Наибольший общий делитель коэффициентов –1, –2 и 5 равен 1.

Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x². Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести x². Правда, в данном случае целесообразнее вынести –x². Получим: \(-x^4y^3 - 2x^3y^2 + 5x^2=-x^2(x^2y^3+2xy^2-5)\).

Способ группировки

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки

1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.
2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.
3. Вынести в каждой группе общий множитель в виде многочлена за скобки.

Пример. Разложить на множители: \(xy-6+3x-2y\).

\(xy – 6 + 3x – 2y = (xy – 2y) + (-6 + 3x)\)\(\: =y(x – 2) +3(x-2) = (x-2)(y+3)\).