
Скачай приложение iTest
Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате
Тождественное преобразование многочленов
Тождественные преобразования многочленов:
- приведение подобных слагаемых;
- сокращение дробей;
- разложение разности степеней на произведение суммы и разности меньшей степени;
- разложение суммы и разности на сумму (разность) первых степеней;
- возведение в степень суммы и разности;
- разложение многочлена на множители с использованием его корней;
- выделение полного квадрата из трехчлена;
- понижение порядка многочлена путем замены аргумента.
Разложение многочлена на множители
Вынесение общего множителя за скобки. Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.
Алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов
- Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен – он и будет общим числовым множителем.
- Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
- Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.
Пример. Разложить на множители: −x4y3−2x3y2+5x2.
Наибольший общий делитель коэффициентов –1, –2 и 5 равен 1.
Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2. Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести x2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести –x2. Получим: −x4y3−2x3y2+5x2=−x2(x2y3+2xy2−5).
Способ группировки
Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.
Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки
- Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.
- Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.
- Вынести в каждой группе общий множитель в виде многочлена за скобки.
Пример. Разложить на множители: xy−6+3x−2y.
xy – 6 + 3x – 2y = (xy – 2y) + (-6 + 3x)\: =y(x – 2) +3(x-2) = (x-2)(y+3).
-
Вынесите общий множитель за скобки.
1,5a^2-3ab+6ac
-
Разложите на множители.
x^2- xy + x - xy^2 + y^3 - y^2
-
Найдите значение выражения 5a^2 - 5ax - 7a + 7x, при a = 4, x= –3.
-
Решите уравнение.
x^2 + 7x + 12 = 0
-
Разложите на множители.
5x(2a - 3b) + 2y(2a - 3b) + z(2a - 3b)
-
Разложите на множители.
8(x - 1) + (x - 1)^2
-
Упростите.
\frac{x^2-4x-12}{x^2+xy-6y-6x}
-
Решите уравнение.
x^2 – 4x – 5 = 0
-
Упростите выражение.
\frac{5^{2n+3}\cdot 5^{2n-1}}{25^{2n+1}}
-
Сократите дробь.
\frac{(4^n+4^{n-1})^2}{4^{2n-2}}
-
Упростите выражение.
\frac{2^m\cdot 3^{n-1}-2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m\cdot 3^n}
-
Чему равно значение 3a+7(2b-a), если 2a-7b=3?