Степень с натуральным и нулевым показателем

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

\(a^n=\underbrace{a\cdot a\ ... \cdot\ a}_n, a^1=a, a^0=1, (a\neq o).\)

Например: \(3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\), здесь 3 – основание степени, 4 – показатель степени, 81 – значение степени.

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом – положительным, отрицательным или нулем. При возведении в степень положительного числа получается положительное число. При возведении нуля в натуральную степень получается ноль. Отрицательное число, возведенное в четную степень, есть число положительное. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень – число отрицательное. Квадрат любого числа есть положительное число или нуль.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей степени.

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца, примерно равное 150 млн км, записывают в виде \(1,5\cdot 10^8\). Каждое число большее 10 можно записать в виде: \(a\cdot 10^n\), где 1 < a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Например: \(4578=4,578\cdot 10^3; 103000=1,03\cdot 10^5\).

Свойства степени с натуральным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются:

\(a^n\cdot a^k=a^{n+k}\).

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются:

\(a^n: a^k=a^{n-k}\).

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются:

\((a^n)^k=a^{n\cdot k}\).

4. Чтобы пе­ре­мно­жить сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, до­ста­точ­но пе­ре­мно­жить ос­но­ва­ния, а по­ка­за­тель сте­пе­ни оста­вить неиз­мен­ным:

\(a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\).

5. Чтобы раз­де­лить друг на друга сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, до­ста­точ­но раз­де­лить одно ос­но­ва­ние на дру­гое, а по­ка­за­тель сте­пе­ни оста­вить неиз­мен­ным:

\(\begin{aligned} \frac{a^n}{b^n}= \left(\frac{a}{b}\right)^n \end{aligned}_.\)

6. Любое число в нулевой степени равно единице: \(a^0=1\).

7. Единица в любой степени равна 1: \(1^n=1\).