Одночлен и многочлен. Степень одночлена и многочлена. Стандартный вид одночлена и многочлена

Одночленом называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения и при этом не содержит никаких других действий с этими числами и переменными.

Например: a²b⁴, bd³, –17abc – одночлены.

Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Например, коэффициент одночлена –12сx⁶y⁵ равен –12. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю.

Например, степень одночлена 8x³yz² равна 6, одночлена 6x равна 1, степень одночлена –10 равна 0.

Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него. Приведем пример приведения одночлена к стандартному виду:

4x²y⁴(–5)yx³ = 4(–5)x²x³y⁴y = –20x⁵y⁵.

Многочленом называется сумма одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так членами многочлена 4x²y – 5xy + 3x – 1 являются 4x²y, –5xy, 3x и –1.

Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех – трехчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

В многочлене 7x³y² – 12 + 4x²y – 2y²x³ + 6 члены 7x³y² и –2y²x³ являются подобными слагаемыми, так как имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными являются и слагаемые –12 и 6, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене – приведением подобных членов многочлена. Приведем для примера подобные члены в многочлене 7x³y² – 12 + 4x²y – 2y²x³ + 6 = 5x³y² + 4x²y – 6.

Многочлен называется многочленом стандартного вида, если каждый его член является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных слагаемых.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Для примера, найдем степень многочлена 8x⁴y² – 12 + 4x²y – 3y²x⁴ + 6 – 5y²x⁴:

8x⁴y² – 12 + 4x²y – 3y²x⁴ + 6 – 5y²x⁴ = 4x²y – 6.

Заметим, что в исходный многочлен входят одночлены шестой степени, но при приведении подобных членов все они сократились, и получился многочлен третьей степени, значит и исходный многочлен имеет степень 3!