Числовые промежутки. Пересечение и объединение числовых промежутков

Отметим на координатной прямой точки с координатами –3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше –3 и меньше 2. Верно и обратное: если число х удовлетворяет условию –3 < x < 2.

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию –3 < x < 2, называется числовым промежутком или просто промежутком от –3 до 2 и обозначается так: (–3; 2).

На рисунках изображено множество чисел х, для которых выполняется неравенство х < 10 и х ≤ 10. Эти множества представляют собой промежутки, обозначаемые соответственно (\(-\infty\); 10) и (\(-\infty\); 10]. Читается так: число х принадлежит промежутку от минус бесконечности (\(-\infty\)) до 10 (х < 10) и число х принадлежит промежутку от минус бесконечности (\(-\infty\)) до 10, включая число 10 (х ≤ 10). Знак равенства в неравенстве обозначается квадратной скобкой в указании промежутка.

Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают \(A\cap B\).

Промежуток [3; 5] является пересечением промежутков [–1; 5] и [3; 7]. Это можно записать так: [–1; 5] ∩ [3; 7] = [3; 5].

Промежутки [0; 4] и [6; 10] не имеют общих элементов. Если множества не имеет общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто. Значит, пересечение промежутков [0; 4] ∩ [6; 10] = 0.

Каждое число из промежутка [1; 7] принадлежит хотя бы одному из промежутков [1; 5] и [3; 7], то есть, либо промежутку [1; 5], либо промежутку [3; 7], либо им обоим.

Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, называют объединением этих множеств обозначают как \(A\cup B\).

Промежуток [1; 7] является объединением промежутков [1; 5] и [3; 7]. Это можно записать так: \([1;5]\cup[3;7]=[1;7].\)

Заметим, что объединение промежутков не всегда представляет собой промежуток, например множество \([0;4]\cup[6;10]\) не является промежутком.