Признаки делимости натуральных чисел

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Например: 2, 8, 16, 24, 66, 150 – делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел чётная.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например: 75 делится на 3, так как 7 + 5 = 15, и число 15 делится на 3 (15 : 3 = 5);

471 делится на 3, так как 4 + 7 + 1 = 12, и число 12 делится на 3 (12 : 3 = 4);

532 не делится на 3, так как 5 + 3 + 2 = 10, а число 10 не делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Например: 215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4.

16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.

Например: числа 375, 5680, 233575 делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например: 3456 делится на 6, по признаку делимости на 2 – оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2), по признаку делимости на 3 – оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3 : 3 + 4 + 5 + 6 = 18, 18 : 3 = 6).

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например: 468, 4788, 69759 – делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4 + 6 + 8 = 18, 4 + 7 + 8 + 8 = 27, 6 + 9 + 7 + 5 + 9 = 36);

861, 3458, 34681 – не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8 + 6 + 1 = 15, 3 + 4 + 5 + 8 = 20, 3 + 4 + 6 + 8 + 1 = 22).

Признак делимости чисел на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

Например: 460, 24000, 170 – делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.

Например: число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0 + 7 + 5 = 12;

число 461025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 – 7 = 4 на 11 не делится.