Уравнения и неравенства, содержащие переменные под знаком модуля

Уравнениями с модулем называются уравнения, которые содержат переменную под знаком модуля (абсолютной величины).

При решении уравнений, содержащих выражение с неизвестной под знаком модуля, в соответствии с правилом раскрытия модуля, рассматриваются два случая: выражение под знаком модуля отрицательно и неотрицательно:

$1)\left| {f(x)} \right| = f(x)\; \Leftrightarrow \;f(x) \ge 0\quad \quad 2) \left| {f(x)} \right| = - f(x)\; \Leftrightarrow \;f(x) \le 0$.

Простейшие уравнения, содержащие выражение с переменной под знаком модуля:

• $1)\;\left| {f(x)} \right| = k\; \Rightarrow \;f(x) = \pm k\;(k > 0);\\ 2)\;\left| {f(x)} \right| = 0\; \Rightarrow \;f(x) = 0;\\ 3)\;\left| {f(x)} \right| = k\; \Rightarrow \;x \in \emptyset \;(k < 0).$
• $\left| {f(x)} \right| + af{}^2(x) = k\; \Rightarrow \;\left| {f(x)} \right| + a\left| {f(x)} \right|^2 = k.\\Замена:\;y = \;\left| {f(x)} \right| \Rightarrow \;y + ay^2 = k.$
• $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|\;\; \Rightarrow \;f^2 (x) = g^2 (x).$
• $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x); \\ f(x) = - g(x). \\ \end{array} \right.$
• $\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} g(x) \ge 0, \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = - g(x). \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$

Для решения уравнений с модулем чаще всего используют и такие методы:

1. раскрытие модуля по определению;
2. возведение обеих частей уравнения в квадрат;
3. метод интервалов.

Пример 1. Решить уравнение: $|x+1|+|x-5|=20$.

Решение: Будем решать это уравнение методом интервалов. Найдем значения, которые обнуляют модули: $|x+1|=0 \Rightarrow x=-1; \ \ x-5=0 \Rightarrow x=5$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty;-1]; (-1;5];(5;+\infty)$. Решим уравнение на каждом из этих промежутков.

1. $x\in(-\infty;-1]$. На этом промежутке $|x+1|=-x-1; \ |x-5|=-x+5$ и уравнение примет вид:

$-x-1-x+5=20 \Rightarrow \ -2x=16 \Rightarrow x=-8$. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку, поэтому $x=-8$ является корнем исходного уравнения.

2. $x\in(-1;5]$. На этом промежутке $|x+1|=x+1; \ |x-5|=-x+5$ и уравнение примет вид:

$x+1-x+5=20 \Rightarrow 0\cdot x=14 \Rightarrow x\in \varnothing$. На рассматриваемом промежутке решений нет.

3. $x\in(5;+\infty)$. На этом интервале $|x+1|=x+1; \ |x-5|=x-5$ и уравнение принимает вид:

$x+1+x-5=20 \Rightarrow 2x=24 \Rightarrow x=12$.

Этот корень принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому $x=12$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: $x_1=-8, \ x_2=12$.

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем, нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Решение неравенства, содержащего абсолютную величину, основано на переходе к равносильной системе неравенств, в которых абсолютная величина не содержится:

• $\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \le a; \\ f(x) \ge - a. \\ \end{array} \right.$
• $\left| {f(x)} \right| < a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) < a; \\ f(x) > - a. \\ \end{array} \right.$
• $\left| {f(x)} \right| \ge a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) \ge a; \\ f(x) \le - a. \\ \end{array} \right.$
• $\left| {f(x)} \right| > a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) > a; \\ f(x) < - a. \\ \end{array} \right.$
• $\left| {f(x)} \right| \le g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \le g(x); \\ f(x) \ge - g(x). \\ \end{array} \right.$
• $\left| {f(x)} \right| \ge g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) \ge g(x), \\ f(x) \le - g(x). \\ \end{array} \right.$

Пример 2. Решить неравенство: $|x + 5| + |2x – 3| < 10$.

Решение: Корни подмодульных выражений: $x = -5 \ и \ x = 1,5$. Расставим знаки этих выражений на полученных интервалах.

Последовательно решим три системы неравенств:

1. $\begin{cases} x<-5\\ -x-5-2x+3<10 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-5\\ x>-4 \\ \end{cases}$ интервалы не пересекаются, решений нет.

2. \( $\begin{cases} -5\le x <1,5\\ x+5-2x+3<10 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5\le x <1,5\\ x>-2 \\ \end{cases} \Rightarrow -2$

3. $\begin{cases} x\ge1,5\\ x+5+2x-3<10 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge1,5\\ x<\frac83 \\ \end{cases} \Rightarrow 1,5 \le x <\frac83.$

Объединим найденные решения: \(–2; $8 \over 3$)

Ответ: $x\in(-2; \frac83)$.