+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Степень с рациональным показателем и ее свойства
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Степенью числа \(a>0\) с рациональным показателем \(r=\frac{m}{n}\), где \(m\) – целое число, а \(n\) – натуральное (\( n>1\)), называется число \({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[\large n\normalsize]{{{a^m}}}\).

Степень, показатель которой есть положительное рациональное число, определяется по формуле: \(a^{-r}=\frac1{a^r}\).

Степень с нулевым показателем определяется по формуле: \(a^0=1\).

Свойства степеней с рациональными показателями

Если \(a>0, b>0\) и \(p, q\) – произвольные рациональные числа, то верны следующие свойства:

  • \(a^p\cdot a^q=a^{p+q}\).
  • \(\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\).
  • \((a^p)^q=a^{pq}\).
  • \((a\cdot b)^p=a^p\cdot b^p\).
  • \((\frac{a}{b})^p=\frac{a^p}{b^p}\).

Пример 1. Упростить выражение: \(\frac{a^{\frac43}b+ab^{\frac43}}{\sqrt[\large 3\normalsize]{a}+\sqrt[\large 3\normalsize]{b}}\).

Решение: \(\frac{a^{\frac43}b+ab^{\frac43}}{\sqrt[\large 3\normalsize]{a}+\sqrt[\large 3\normalsize]{b}}=\frac{ab(a^{\frac13}+b^{\frac13})}{a^{\frac13}+b^{\frac13}}=ab\).

Ответ: \(ab\).

Пример 2. Упростить выражение: \((1+c^{\frac12})^2-2c^{\frac12}\).

Решение: \((1+c^{\frac12})^2-2c^{\frac12}=1+2\cdot c^{\frac12}+(c^{\frac12})^2-2c^{\frac12}=1+c\).

Ответ: \(1+c\).



Вопросы

  1. Вычислите.

    \(((\sqrt[4] 2+\sqrt[4] 8)^2-6)((\sqrt[4] 2-\sqrt[4] 8)^2+6)\)

  2. Вычислите.

    \((\sqrt[3] {100}+2\sqrt[3] 5+2\sqrt[3] 2)(\sqrt[3]{10}-\sqrt[3]4)\)

  3. Вычислите.

    \(64^{-\frac56}-(0,125)^{-\frac13}-32\cdot 2^{-4}\cdot16^{-1\frac12}+(3^0)^4\cdot 4\)

  4. Найдите значение выражения.

    \(\sqrt[3]{8\cdot 0,001} \cdot \sqrt[5]{\frac{243}{32}}\)

  5. Упростите выражение.

    \(((a^{-0,4}b^{0,2})^5\cdot a^2b)^\frac{1}{3}\)

  6. Упростите выражение.

    \(\frac{(x^{-\frac12})^2x^{\frac67}}{(x^{\frac27})^{-4}}\)

Сообщить об ошибке