Степенная функция, ее свойства и графики

Степенной функцией называют функцию \(y=x^n\), где \(n\) – любое действительное число, отличное от нуля.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем

• Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
• Область значений: \(E(y)=(-\infty;+\infty)\).
• Функция нечетная, так как \(y(-x)=-y(x)\).
• Функция возрастает при \(x\in (-\infty;+\infty)\).
• Функция выпуклая при \(x\in (-\infty;0]\) и вогнутая при \(x\in [0;+\infty)\) (кроме линейной функции).
• Точка \((0; 0)\) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки \((-1; -1), (0; 0), (1; 1)\).

Свойства степенной функции с четным положительным показателем

• Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
• Область значений: \(E(y)=[0;+\infty)\).
• Функция четная, так как \(y(-x)=y(x)\).
• Функция возрастает при \(x\in[0;+\infty)\), убывает при \(x\in(-\infty;0]\).
• Функция вогнутая при \(x\in (-\infty;+\infty)\).
• Точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки \((-1; 1), (0; 0), (1; 1)\).

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем

• Область определения: \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
• Область значений: \(E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
• Функция нечетная, так как \(y(-x)=-y(x)\).
• Функция убывает при \(x\in(-\infty;0)\cup (0;+\infty)\).
• Функция выпуклая при \(x\in(-\infty;0)\) и вогнутая при \(x\in(0;+\infty)\).
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая \(y = 0\).
• Функция проходит через точки \((-1;-1), (1;1)\).

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем

• Область определения: \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
• Область значений: \(E(y)=(0;+\infty)\).
• Функция четная, так как \(y(-x)=y(x)\).
• Функция возрастает при \(x\in (-\infty;0)\), убывает при \(x\in(0;+\infty)\).
• Функция вогнутая при \(x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая \(y=0\).
• Функция проходит через точки \((-1;1), (1;1)\).

Графики степенных функций