Решение иррациональных уравнений и их систем

Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие методы:

• «уединение» корня в одной из частей уравнения и возведение в соответствующую степень;
• введение новой переменной;
• сведение к системе уравнений;
• применение свойств функций, входящих в уравнение.

Следует помнить, что при решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1. если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с четным показателем степени);
2. если показатель корня – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение: $\sqrt{x^2-5x+1}=\sqrt{x-4}$.

Решение: Очевидно, что $x^2-5x+1\ge0 \ и \ x-4\ge 0$.

Возводя в квадрат обе части уравнения, мы выйдем на новое уравнение, при этом мы сохраним информацию, заложенную в исходном уравнении.

Получаем равносильную систему:

$\begin{cases} x^2-5x+1=x-4 \\ x-4\ge0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2-6x+5=0 \\ x\ge4 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=5,x_2=1 \\ x\ge4 \\ \end{cases}$.

Решением данной системы, а значит и исходного уравнения, является число 5.

Ответ: 5.

Пример 2. Решить уравнение: $3\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}=7$.

Решение: Перепишем уравнение следующим образом:

$3\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+7$.

Обе части этого уравнения на его области определения принимают неотрицательные значения. Возведем в квадрат обе части:

$9(x+3)=(\sqrt{x-2}+7)^2$.

Это уравнение равносильно исходному.

Далее,

$9x+27=x-2+2\cdot7\cdot \sqrt{x-2}+49; \\ 8x-20=14\sqrt{x-2}; \\4x-10=7\sqrt{x-2}.$

Откуда,

$\begin{cases} (4x-10)^2=49(x-2) \\ 4x-10\ge0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 16x^2-129x+198=0 \\ 2x-5\ge0 \\ \end{cases} \Rightarrow \\ \begin{cases} x_1=6, \ x_2=2\frac1{16} \\ x\ge2,5 \\ \end{cases} \Rightarrow x=6.$

Ответ: 6.