Решение иррациональных неравенств и их систем

Неравенство, содержащее неизвестные величины или некоторые функции неизвестных величин под знаком радикала, называется иррациональным неравенством.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод возведения в степень. При этом решение таких неравенств сводится к решению рациональных неравенств или систем рациональных неравенств. Такого рода преобразования могут привести к неравенствам, которые не равносильны исходному, и поскольку множество решений в большинстве случаев представляет бесконечное множество, невозможно провести проверку полученных решений подстановкой. Единственный способ, который гарантирует правильный ответ, состоит в применении исключительно равносильных преобразований неравенств.

1. Неравенство вида \(\sqrt {f(x)} < g(x)\).

• Если \(g(x)≤0\) – решения нет.
• Если \(g(x)>0\) – решением неравенства \(\sqrt {f(x)} < g(x)\) будет решение равносильной системы \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ g(x) \ge 0; \\ f(x) < g^2 (x). \\ \end{array} \right.\)

2. Неравенство вида \(\sqrt {f(x)} \le g(x)\).

• Если \(g(x)≤0\) – решения нет.
• Если \(g(x)\ge 0\) – решением неравенства \(\sqrt {f(x)} \le g(x)\) будет решение равносильной системы \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ g(x) \ge 0; \\ f(x) \le g^2 (x). \\ \end{array} \right.\)

3. Неравенство вида \(\sqrt {f(x)} > g(x)\).

Решением неравенства \(\sqrt {f(x)} > g(x)\) будет решение равносильной совокупности систем \(\left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0; \\ f(x) > g^2 (x) \\ \end{array} \right.\) или \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ g(x) < 0. \\ \end{array} \right.\)

4. Неравенство вида \(\sqrt {f(x)} \ge g(x)\).

Решением неравенства \(\sqrt {f(x)} \ge g(x)\) будет решение равносильной совокупности систем \(\left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0; \\ f(x) \ge g^2 (x) \\ \end{array} \right.\) или \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ g(x) < 0. \\ \end{array} \right.\)

5. Неравенство вида \(\sqrt {f(x)} \le \sqrt{g(x)}\).

Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему \(\sqrt {f(x)} \le \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ f(x) \le g (x). \\ \end{array} \right.\)

Пример 1. Решите неравенство: \(\sqrt{x^2-4x-140}\le 4x-72\).

Решение: Вспомним свойства неравенств: если обе части неравенства неотрицательны, то при возведении в квадрат знак неравенства не меняется; если отрицательны, то знак меняется на противоположный; если же левая и правая части имеют разные знаки, то возведение в квадрат является некорректной операцией. В данном неравенстве подкоренное выражение, разумеется, должно быть неотрицательным. Кроме того, значения правой части не меньше квадратного корня, то есть для решений неравенства правая часть может быть только неотрицательной. При выполнении этих условий мы имеем право возвести обе части в квадрат с сохранением знака неравенства:

\(\begin{cases} x^2-4x-140\ge0 \\ 4x-72 \ge0 \\ x^2-4x-140 \le 16x^2-576x+5184\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x+10)(x-14)\ge0 \\ x \ge18 \\ 15x^2-572x+5324 \ge 0\end{cases} \Rightarrow\)

\( \begin{cases} x\in(-\infty;-10]\cup[14;+\infty) \\ x \ge18 \\ (x-16\frac2{15})(x-22)\ge0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\in(-\infty;-10]\cup[14;+\infty) \\ x \ge18 \\ x\in(-\infty;16\frac2{15}]\cup [22;+\infty)\end{cases}\).

Пересечение решений можно записать в виде: \(x\ge22\).

Ответ: \(x\in [22;+\infty)\).

Пример 2. Решите неравенство \(\sqrt{x^2-2x+1}\ge\sqrt{3-x}\).

Решение: Перейдем к равносильной системе:

\(\sqrt{x^2-2x+1}\ge\sqrt{3-x} \Leftrightarrow \begin{cases} 3-x\ge 0\\ x^2-2x+1 \ge 3-x \\ \end{cases} \Rightarrow \)

\(\begin{cases} x\le 3\\ x^2-x-2 \ge 0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\le 3\\ (x+1)(x-2) \ge 0 \\ \end{cases} \).

Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем: \(x\in(-\infty;-1]\cup [2;3]\).

Ответ: \(x\in(-\infty;-1]\cup [2;3]\).