Правильный многогранник

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все его двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

1. У правильного n-угольника, если \(n≥6\), углы не меньше 120°.
2. В каждой вершине многогранника должно быть не меньше трех углов.
3. Даже при трех углах сумма всех углов уже достигает 360°.
4. Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

Теорема Эйлера. В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на 2 больше числа ребер: \(Г+В−Р=2\).

Существует 5 типов правильных многогранников:

• Правильный тетраэдр («тетра» – 4; «эдра» – грань).
• Правильный гексаэдр («гекса» – 6; «эдра» – грань).
• Правильный октаэдр («окта» – 8; «эдра» – грань).
• Правильный додекаэдр («додека» - 12; «эдра» – грань).
• Правильный икосаэдр («икоса» – 20; «эдра» – грань).

Правильный тетраэдр

В переводе с греческого тетраэдр – четырехгранник. У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходятся по три ребра. У тетраэдра все ребра равны. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º.

Правильный гексаэдр

Гексаэдр (куб) – правильный шестигранник. У гексаэдра все ребра равны, грани – квадраты, в каждой вершине сходятся по три ребра. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º.

Правильный октаэдр

Октаэдр – восьмигранник. У октаэдра грани – правильные треугольники, но, в отличие от тетраэдра, в каждой вершине сходятся по четыре ребра. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине – 240º.

Правильный додекаэдр

Додекаэдр – двенадцатигранник. Гранями являются правильные пятиугольники. В каждой вершине сходятся по три ребра. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.

Правильный икосаэдр

Икосаэдр – правильный двадцатигранник. Гранями являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходятся по пять ребер. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º.