Понятие логарифма, свойства логарифмов

Логарифмом числа \(b \ (b>0)\) по основанию \(a \ (a>0, a≠1)\) называется показатель степени \(x\), в которую надо возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\):  \({\log _a}b = x\; \Leftrightarrow \;{a^x} = b,\text{ где }b > 0, a > 0, a \ne 1\).

Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\) (Логарифм существует только у положительных чисел).

Например, \(\log_28=3, так\ как\ 2^3=8; \log_3\sqrt3=\frac12, так \ как \ 3^{\frac12}=\sqrt3\).

Су­ще­ству­ет два спе­ци­аль­ных вида ло­га­риф­мов: де­ся­тич­ный и на­ту­раль­ный.

Де­ся­тич­ный ло­га­рифм – это ло­га­рифм с ос­но­ва­ни­ем 10. Он обо­зна­ча­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: \(\log_{10}b=\lg b\).

Примеры вычисления десятичных логарифмов: \(\lg1=0, так\ как\ 1=10^0; \lg100=2, так\ как\ 100=10^2\).

На­ту­раль­ный ло­га­рифм – это ло­га­рифм с ос­но­ва­ни­ем \(e\), где \(e\) – число Эйлера. Он обо­зна­ча­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: \(\log_eb=\ln b\).

Ис­хо­дя из опре­де­ле­ния ло­га­риф­ма \(a^c=b \Leftrightarrow c=\log_a b\), легко по­лу­чить сле­ду­ю­щее свой­ство, ко­то­рое на­зы­ва­ет­ся ос­нов­ным ло­га­риф­ми­че­ским тож­де­ством. Для этого до­ста­точ­но под­ста­вить вто­рую фор­му­лу в первую. В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ем: \(a^{\log_a b}=b\).

Это вы­ра­же­ние на­зы­ва­ет­ся ос­нов­ным ло­га­риф­ми­че­ским тож­де­ством.

Свойства логарифмов:

1. Логарифм единицы: \({\log_a}1 = 0\).
2. Логарифм числа, равного основанию: \({\log_a}a = 1\).
3. Логарифм произведения: \({\log_a}{(b\cdot c)} = {\log_a}b + {\log_a}c\).
4. Логарифм частного: \({\log_a}{(\frac{b}{c})} = {\log_a}b - {\log_a}c\).
5. Логарифм степени: \({\log _a}\left( {{b^p}} \right) = p\,{\log _a}b\).
6. Логарифм корня: \({\log _a}\sqrt[\large p\normalsize]{b} = \large\frac{1}{p}\normalsize{\log _a}b\).
7. \({\log _{{a^{\large q\normalsize}}}}b = \large\frac{1}{q}\normalsize{\log _a}b\).
8. \({\log _{{a^{\large q\normalsize}}}}{b^p} = \large\frac{p}{q}\normalsize{\log _a}b\).
9. Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию: \({\log _a}b = \large\frac{{{{\log }_d}b}}{{{{\log }_d}a}}\normalsize,\text{ где }d \ne 1.\)
10. \({\log _a}b = \large\frac{1}{{{{\log }_b}a}}\normalsize,\text{ где }b \ne 1.\)

Пример 1. Вычислить: \(\log_3 7-\log_3 \frac79\).

Решение: Со­глас­но фор­му­ле, раз­ность ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем можем пред­ста­вить как ло­га­рифм част­но­го:

\(\log_3 7-\log_3 \frac79=\log _3 \frac7{\frac79}=\log_3\frac{7\cdot 9}7=\log_39=\log_33^2=2\).

Ответ: 2.

Пример 2. Найдите значение выражения \(\log_a(ab^3)\), если \(\log_b a = \frac17\).

Решение: Преобразуем данное выражение: \(\log_a(ab^3)=\log_aa+\log_ab^3=1+3\log_ab\).

Определим значение выражения \(\log_a b\). Нам известно, что \(\log_ba=\frac17\).

Используем свойство: \(\log_ba=\frac1{\log_ab} \Rightarrow \frac17=\frac1{\log_ab} \Rightarrow \log_ab=7\).

Таким образом: \(1+3\log_ab=1+3\cdot7=22\).

Ответ: 22.