
Скачай приложение iTest
Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате
Показательные уравнения и их системы
Показательные уравнения – уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.
Уравнение вида: ax=b,где a>0,a≠1 называется простейшим показательным уравнением.
Методы решения показательных уравнений:
- В результате преобразований уравнение можно привести к виду af(x)=ac. Тогда применяем свойство: af(x)=ac⇒f(x)=c.
- При получении уравнения вида af(x)=b используется определение логарифма, получим: f(x)=logab.
- В результате преобразований можно получить уравнение вида af(x)=bg(x). Применяется логарифмирование: logcaf(x)=logcbg(x). Далее применяем свойство логарифма степени: f(x)⋅logca=g(x)⋅logcb. Выражаем и находим x.
Пример 1. Решить уравнение: 3x+1+3x−3x−2=35.
Решение: Метод решения уравнений такого вида – вынести за скобки степень с наименьшим показателем. В данном случае выносим 3x−2 за скобки: 3x−2(33+32−1)=35⇒3x−2·35=35⇒3x−2=1.
Последнее равенство запишем как 3x−2=30 и, ввиду монотонности показательной функции, заключаем, что x−2=0⇒x=2.
Ответ: 2.
Пример 2. Решить уравнение: 4x−2x+1−8=0.
Решение: Перепишем уравнение следующим образом: 22x−2⋅2x−8=0. Вводя замену t=2x, получим квадратное уравнение относительно t: t2−2t−8=0. Находим его корни: t1=4,t2=−2. Остается сделать обратную замену. Уравнение 2x=4 имеет единственный корень x=2. Уравнение 2x=−2 корней не имеет, так как показательная функция y=2x не может принимать отрицательных значений.
Ответ: 2.
Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.
Пример 3. Решить систему уравнений: {2x+1−3y=−1,3y−2x=2.
Решение: Данная система равносильна системе {2⋅2x−3y=−13y−2x=2. Пусть 2x=u (u>0),3y=v (v>0), тогда получим: {2u−v=−1v−u=2. Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения: 2u−v+v−u=−1+2⇒u=1. Тогда из второго уравнения получим, что v=2+u=2+1=3. Переходим к обратной подстановке: {2x=13y=3⇒{x=0y=1.
Ответ: (0;1).
-
Решите уравнение.
7x2−2x−1=149
-
Решите систему уравнений.
{2x+y=−23x+y=9
-
Решите уравнение.
94x−10=1110−4x
-
Решите уравнение.
(2+√3)x+(2−√3)x=4
-
Решите систему уравнений.
{2x⋅9y=1623x⋅4y=48
-
Решите уравнение.
6⋅4x−6x−12⋅9x=0
-
Решите уравнение.
4x−2=(13)2−x
-
Решите уравнение.
7⋅5x−5x+1=2⋅53
-
Решите уравнение.
3x−1−(13)3−x=√194−x+207
-
Решите уравнение.
22x+1−5⋅2x−88=0