Показательные уравнения и их системы

Показательные уравнения – уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

Уравнение вида: \(a^x = b, где\ a > 0, a ≠ 1\) называется простейшим показательным уравнением.

Методы решения показательных уравнений:

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду \(a^{f(x)}=a^c\). Тогда применяем свойство: \(a^{f(x)}=a^c \Rightarrow f(x)=c\).
2. При получении уравнения вида \( a ^{f(x)} = b \) используется определение логарифма, получим: \(f(x)=\log_a b\).
3. В результате преобразований можно получить уравнение вида \(a^{f(x)}=b^{g(x)}\). Применяется логарифмирование: \(\log_ca^{f(x)}=\log_cb^{g(x)}\). Далее применяем свойство логарифма степени: \(f(x)\cdot \log_ca=g(x)\cdot \log_cb\). Выражаем и находим \(x\).

Пример 1. Решить уравнение: \(3^{x+1} + 3^x − 3^{ x−2} = 35\).

Решение: Метод решения уравнений такого вида – вынести за скобки степень с наименьшим показателем. В данном случае выносим \(3^{x-2}\) за скобки:  \(3^{x−2} (3^3 + 3^2 − 1) = 35 \Rightarrow 3^{x−2}· 35 = 35 \Rightarrow 3^{x−2} = 1\).

Последнее равенство запишем как \(3^{x-2}=3^0\) и, ввиду монотонности показательной функции, заключаем, что \(x-2=0 \Rightarrow x=2\).

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение: \(4^{x} − 2^{x+1} − 8 = 0 \).

Решение: Перепишем уравнение следующим образом: \(2^{2x} − 2\cdot 2^{x} − 8 = 0 \). Вводя замену \(t=2^x\), получим квадратное уравнение относительно \(t\):  \(t^2-2t-8=0\). Находим его корни: \(t_1=4, t_2=-2\). Остается сделать обратную замену. Уравнение \(2^ x = 4\) имеет единственный корень \(x = 2\). Уравнение \(2 ^x = −2\) корней не имеет, так как показательная функция \(y=2^x\) не может принимать отрицательных значений.

Ответ: 2.

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Пример 3. Решить систему уравнений: \(\begin{cases} 2^{x+1}-3^y=-1,\\ 3^y-2^x=2. \\\end{cases}\)

Решение: Данная система равносильна системе \(\begin{cases} 2\cdot 2^{x}-3^y=-1\\ 3^y-2^x=2 \\\end{cases}\). Пусть \(2^x=u\ (u>0), 3^y=v \ (v>0)\), тогда получим: \(\begin{cases} 2u-v=-1 \\ v-u=2\\ \end{cases}\). Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения: \(2u-v+v-u=-1+2 \Rightarrow u=1\). Тогда из второго уравнения получим, что \(v=2+u=2+1=3\). Переходим к обратной подстановке: \(\begin{cases} 2^x=1 \\ 3^y=3 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=1 \\ \end{cases} \).

Ответ: \((0;1)\).