Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Показательные уравнения и их системы

Конспект

Показательные уравнения – уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

Уравнение вида: ax=b,где a>0,a1 называется простейшим показательным уравнением.

Методы решения показательных уравнений:

  1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду af(x)=ac. Тогда применяем свойство: af(x)=acf(x)=c.
  2. При получении уравнения вида af(x)=b используется определение логарифма, получим: f(x)=logab.
  3. В результате преобразований можно получить уравнение вида af(x)=bg(x). Применяется логарифмирование: logcaf(x)=logcbg(x). Далее применяем свойство логарифма степени: f(x)logca=g(x)logcb. Выражаем и находим x.

Пример 1. Решить уравнение: 3x+1+3x3x2=35.

Решение: Метод решения уравнений такого вида – вынести за скобки степень с наименьшим показателем. В данном случае выносим 3x2 за скобки 3x2(33+321)=353x2·35=353x2=1.

Последнее равенство запишем как 3x2=30 и, ввиду монотонности показательной функции, заключаем, что x2=0x=2.

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение: 4x2x+18=0.

Решение: Перепишем уравнение следующим образом: 22x22x8=0. Вводя замену t=2x, получим квадратное уравнение относительно t:  t22t8=0. Находим его корни: t1=4,t2=2. Остается сделать обратную замену. Уравнение 2x=4 имеет единственный корень x=2. Уравнение 2x=2 корней не имеет, так как показательная функция y=2x не может принимать отрицательных значений.

Ответ: 2.

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Пример 3. Решить систему уравнений: {2x+13y=1,3y2x=2.

Решение: Данная система равносильна системе {22x3y=13y2x=2. Пусть 2x=u (u>0),3y=v (v>0), тогда получим: {2uv=1vu=2. Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения: 2uv+vu=1+2u=1. Тогда из второго уравнения получим, что v=2+u=2+1=3. Переходим к обратной подстановке: {2x=13y=3{x=0y=1.

Ответ: (0;1).



Вопросы
  1. Решите уравнение.

    7x22x1=149

  2. Решите систему уравнений.

    {2x+y=23x+y=9

  3. Решите уравнение.

    94x10=11104x

  4. Решите уравнение.

    (2+3)x+(23)x=4

  5. Решите систему уравнений.

    {2x9y=1623x4y=48

  6. Решите уравнение.

    64x6x129x=0

  7. Решите уравнение.

    4x2=(13)2x

  8. Решите уравнение.

    75x5x+1=253

  9. Решите уравнение.

    3x1(13)3x=194x+207

  10. Решите уравнение.

    22x+152x88=0

Сообщить об ошибке