Показательные уравнения и их системы

Показательные уравнения – уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

Уравнение вида: $a^x = b, где\ a > 0, a ≠ 1$ называется простейшим показательным уравнением.

Методы решения показательных уравнений:

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду $a^{f(x)}=a^c$. Тогда применяем свойство: $a^{f(x)}=a^c \Rightarrow f(x)=c$.
2. При получении уравнения вида $a ^{f(x)} = b$ используется определение логарифма, получим: $f(x)=\log_a b$.
3. В результате преобразований можно получить уравнение вида $a^{f(x)}=b^{g(x)}$. Применяется логарифмирование: $\log_ca^{f(x)}=\log_cb^{g(x)}$. Далее применяем свойство логарифма степени: $f(x)\cdot \log_ca=g(x)\cdot \log_cb$. Выражаем и находим $x$.

Пример 1. Решить уравнение: $3^{x+1} + 3^x − 3^{ x−2} = 35$.

Решение: Метод решения уравнений такого вида – вынести за скобки степень с наименьшим показателем. В данном случае выносим $3^{x-2}$ за скобки:  $3^{x−2} (3^3 + 3^2 − 1) = 35 \Rightarrow 3^{x−2}· 35 = 35 \Rightarrow 3^{x−2} = 1$.

Последнее равенство запишем как $3^{x-2}=3^0$ и, ввиду монотонности показательной функции, заключаем, что $x-2=0 \Rightarrow x=2$.

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение: $4^{x} − 2^{x+1} − 8 = 0$.

Решение: Перепишем уравнение следующим образом: $2^{2x} − 2\cdot 2^{x} − 8 = 0$. Вводя замену $t=2^x$, получим квадратное уравнение относительно $t$:  $t^2-2t-8=0$. Находим его корни: $t_1=4, t_2=-2$. Остается сделать обратную замену. Уравнение $2^ x = 4$ имеет единственный корень $x = 2$. Уравнение $2 ^x = −2$ корней не имеет, так как показательная функция $y=2^x$ не может принимать отрицательных значений.

Ответ: 2.

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Пример 3. Решить систему уравнений: $\begin{cases} 2^{x+1}-3^y=-1,\\ 3^y-2^x=2. \\\end{cases}$

Решение: Данная система равносильна системе $\begin{cases} 2\cdot 2^{x}-3^y=-1\\ 3^y-2^x=2 \\\end{cases}$. Пусть $2^x=u\ (u>0), 3^y=v \ (v>0)$, тогда получим: $\begin{cases} 2u-v=-1 \\ v-u=2\\ \end{cases}$. Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения: $2u-v+v-u=-1+2 \Rightarrow u=1$. Тогда из второго уравнения получим, что $v=2+u=2+1=3$. Переходим к обратной подстановке: $\begin{cases} 2^x=1 \\ 3^y=3 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=1 \\ \end{cases}$.

Ответ: $(0;1)$.