Логарифмические уравнения и их системы

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида \(\log_a x = b\).

Утверждение 1. Если \(a > 0, a ≠ 1\), уравнение \(\log_a x = b\) при любом действительном \(b\) имеет единственное решение \(x = a^b\).

Утверждение 2. Уравнение \(\log_a f(x) = \log_a g(x)    \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще): \(\begin{cases} f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \end{cases} \ или \ \begin{cases} f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \end{cases}\).

Утверждение 3. Уравнение \(\log_{\varphi (x)} f(x) = \log_{\varphi (x)}  g(x)    \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end{cases} \ или \ \begin{cases} f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end{cases} \).

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями. Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т. к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З. Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Логарифмировать алгебраическое выражение – значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.

Метод потенцирования – переход от уравнения с логарифмами к уравнениям, которые их не содержат.

Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.

Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнение: \(\log_{0,1}x=3\).

Решение: ОДЗ: \(x>0\).

Для нахождения решения возведем основание логарифма в степень, равную 3 (правая часть уравнения), получим: \(x=(0,1)^3 \Rightarrow x=0,001\). Полученное решение принадлежит ОДЗ, поэтому \(x=0,001\) – решение исходного уравнения.

Ответ: 0,001.

Использование свойств логарифма

Пример 2. Решить уравнение: \(\log_2(x − 2) +\log_2(x − 3) = 1\).

Решение: Оба логарифма одновременно определены при выполнении системы неравенств: \(\begin{cases} x-2>0, \\ x-3>0. \\ \end{cases} \)

ОДЗ нашего уравнения есть множество \(x > 3\). Найдя ОДЗ, переходим к преобразованиям уравнения. Имеем: \(\log_2 (x − 2)(x − 3) = 1 \Rightarrow\log_2 (x − 2)(x − 3) = \log_22 \Rightarrow\)

\((x-2)(x-3)=2 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=4\).

При этом число 1 не принадлежит ОДЗ и поэтому не является корнем исходного уравнения. Число 4 входит в ОДЗ и, следовательно, будет корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Метод подстановки

Пример 3. Решить уравнение: \(\log_2^2(3-x)+3\log_2(3-x)=4\).

Решение: Введем замену \(\log_2(3-x)=t\), тогда получим: \(t^2+3t=4 \Rightarrow t^2+3t-4=0\).

Решая полученное квадратное уравнение, будем иметь: \(D=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=25=5^2 \Rightarrow t_1=1, t_2=-4\).

Делаем обратную замену:

\(1) \ \log_2(3-x)=1 \Rightarrow 3-x=2^1 \Rightarrow x_1=1; \\2) \ \log_2(3-x)=-4 \Rightarrow 3-x=2^{-4} \Rightarrow x_2=2\frac{15}{16}.\)

Ответ: \(1;2 \frac{15}{16}\).

Метод логарифмирования

Пример 4. Решить уравнение: \(6^{\log_6^2x}+x^{\log_6x}=12\).

Решение: ОДЗ: \(x>0\).

Преобразуем первое слагаемое так: \(6^{\log_6^2x}=6^{\log_6x\cdot \log_6x}=(6^{\log_6x})^{\log_6x}=x^{\log_6x}\). Отсюда, \(x^{\log_6x}+x^{\log_6x}=12 \\2x^{\log_6x}=12 \ |:2 \\x^{\log_6x}=6\)

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6: \(\log_6x^{\log_6x}=\log_66\).

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма, в правой – вычисляем значение логарифма: \(\log_6x\cdot \log_6x=1 \Rightarrow \log_6^2x=1\). Пусть \(\log_6x=t \Rightarrow t^2=1 \Rightarrow t_1=1,t_2=-1\).

Обратная замена: \(1) \ \log_6x=1 \Rightarrow x_1=6^1=6; \\2) \ \log_6x=-1\Rightarrow x_2=6^{-1}=\frac16.\)

Ответ: \(6;\frac16\).

Метод потенцирования

Пример 5. Решить уравнение: \(\log_3 (x^2 – 3x – 5) = \log_3 (7 – 2x)\).

Решение: ОДЗ: \(\begin{cases} x^2-3x-5>0 \\ 7-2x>0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-\frac{3+\sqrt{29}}2)(x+\frac{3-\sqrt{29}}2)>0 \\ x<\frac72 \\ \end{cases} \).

Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов: \(x^2-3x-5=7-2x\).

Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение: \(x^2-3x-5-7+2x=0 \Rightarrow x^2-x-12=0\).

Решив квадратное уравнение, находим его корни: \(x_1=4, x_2=-3\).

4 не является решением уравнения, так как не входит в ОДЗ. Значит, –3 является единственным решением уравнения.

Ответ: –3.

При решении систем логарифмических уравнений применяются те же способы и приемы, что и при решении систем алгебраических уравнений и неравенств.

Пример 6. Решить систему уравнений: \(\begin{cases} x+y=4, \\ \log_2x+\log_2y=\log_23. \\ \end{cases}\)

Решение: ОДЗ: \(x > 0, y > 0\).

Из первого уравнения можно сделать подстановку:

\(\begin{cases} x+y=4 \\ \log_2x+\log_2y=\log_23 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=4-x \\ \log_2x+\log_2(4-x)=\log_23 \\ \end{cases} \Rightarrow\)\(\begin{cases} y=4-x \\ x(4-x)=3 \\ \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} y=4-x \\ x^2-4x+3=0 \\ \end{cases} \Rightarrow x_1=1, x_2=3\).

Находим соответствующие значения у:  \(y_1 = 4 – 1 = 3, y_2 = 4 – 3 = 1\).

Все найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: \((1; 3), (3; 1)\).