Площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим непрерывную функцию \(y = f ( x )\), заданную на отрезке \([ a; b ]\) и сохраняющую на этом отрезке свой знак. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком \([ a;b ]\) и прямыми \(x = a \ и \ x = b\), называется криволинейной трапецией.

Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема:

Если \(f(x)\) – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке \([a;b] \ и \ F(x)\) – ее первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке \([a; b]\), т. e. \(S=F(b)-F(a)\).

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке \([ a ; b ]\) функции \(f (x)\) осью \(Ox\) и прямыми \(x=a \ и\ x= b\):

\(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y=f(x)\ и \ y=g(x),  [f(x) \ge g(x)]\) и прямыми \(x=a, x=b\), вычисляется по формуле \({S = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } = {F\left( b \right) - G\left( b \right) - F\left( a \right) + G\left( a \right)}\).

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = 2x - {x^2}\) и \(x + y = 0\).

Решение:

Найдем координаты точек пересечения кривых: \({2x - {x^2} = - x}\;\; {\Rightarrow {x^2} - 3x = 0}\;\; {\Rightarrow x\left( {x - 3} \right) = 0}\;\; {\Rightarrow {x_1} = 0,\;{x_2} = 3}\).

Данная область ограничивается сверху параболой \(y=2x−x^2\), а снизу − прямой линией \(y=−x\). Следовательно, площадь этой области равна:

\({S = \int\limits_0^3 {\left[ {2x - {x^2} - \left( { - x} \right)} \right]dx} } = {\int\limits_0^3 {\left( {2x - {x^2} + x} \right)dx} } = {\left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 }= \\= {\left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 } = {\frac{{27}}{2} - \frac{{27}}{3} = \frac{9}{2}.}\)