Независимое событие

Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности появления события B.

Пример 1. При бросании кубика вероятность появления числа 2 при втором бросании не зависит от результатов первого бросания.

Пример 2. При одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5 – независимые события.

Свойства независимости событий:

1. Если событие B не зависит от события A, то и событие A не зависит от события B. В этом случае события \(A\ и \ B\) называются просто независимыми событиями.
2. Правило умножения вероятностей двух независимых событий. Если \(A\ и \ B\) – независимые события, то \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)\), т. е. вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
3. Признак независимости двух событий. Если для некоторых случайных событий \(A\ и \ B\) справедливо соотношение \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)\), то эти события являются независимыми.
4. Если \(A\ и \ B\) – независимые события, то независимыми также являются следующие события: \(A\  и \ \overline{B } , \overline{A }\ и \ B ,  \overline{A } \ и \ \overline{B } \).

Пример 3. Какова вероятность, что, бросая кубик 6 раз, мы получим последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Решение: Результат бросания кубика не зависит от предыдущих результатов бросания. По формуле для вероятности произведения независимых событий искомая вероятность равна \(P(A)=\frac16 \cdot\frac16 \cdot\frac16 \cdot\frac16 \cdot\frac16 =\frac1{6^6}\).

Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из взаимно независимых событий \(A_1,A_2,...,A_n\), можно вычислить путем вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий \(\overline{A_1},\overline{A_2},...,\overline{A_n}\): \(P(A)=1-P(\overline{A_1})\cdot P(\overline{A_2})\cdot ... \cdot P(\overline{A_n})\).