Числовые характеристики случайной величины

Основными характеристиками дискретной случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием \(M(X)\) называется средняя величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины \(X\), принимающей конечное число значений \(x_i\) с вероятностями \(p_i\), называется сумма: \(M(X)=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+...+x_n\cdot p_n\).

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: \(M(C)=C\).
2. Постоянную можно выносить за знак математического ожидания: \(M(CX)=CM(X)\).
3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: \(M(X_1\cdot X_2\cdot ...\cdot X_n)=M(X_1)\cdot M(X_2)\cdot...\cdot M(X_n)\).
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: \(M(X_1+ X_2+ ...+ X_n)=M(X_1)+ M(X_2)+...+ M(X_n)\).

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины \(X\) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: \(D(X)=M[X-M(X)]^2\).

Дисперсию удобно вычислять по формуле \(D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2\).

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной равна нулю: \(D(C)=0\).
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: \(D(CX)=C^2D(X)\).
3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: \(D(X_1\pm X_2\pm ...\pm X_n)=D(X_1)+ D(X_2)+...+ D(X_n)\).
4. \(D(X+C)=D(X)\).

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: \(\sigma(X)=\sqrt{D(X)}\).

Пример. Закон распределения случайной величины \(X\) задан таблицей распределения

Найди: \(c, M(X),D(X), \sigma(X)\).

Решение:

1. Так как \({\sum\limits_{i = 1}^4 {{p_i}} }=1\), т. е. \(\frac18+\frac14+\frac13+c=1\), следовательно \(c=1-\frac18-\frac14-\frac13=\frac{24-3-6-8}{24}=\frac{7}{24}\).

Закон распределения примет вид:

\(M(X)={\sum\limits_{i = 1}^4 {{x_i}\cdot{p_i}} }=1\cdot \frac18+2\cdot\frac14+3\cdot\frac13+4\cdot \frac7{24}=\frac{3+12+24+28}{24}=\frac{67}{24}\).

2. Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой \(D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2\).

Сначала найдем математическое ожидание случайной величины \(X^2\), для этого составим закон распределения этой случайной величины. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение случайной величины \(X\) возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях случайной величины вероятности складываем.

\(M(X^2)=1\cdot \frac18+4\cdot\frac14+9\cdot\frac13+16\cdot \frac7{24}=\frac{3+96+112}{24}=\frac{211}{24}\)

\(D(X)=\frac{211}{24}-(\frac{67}{24})^2=\frac{24\cdot211-67^2}{24^2}=\frac{575}{576}\).

3. Найдем среднее квадратическое отклонение: \(\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{575}{576}}=\frac{5\sqrt{23}}{24}\).