Логарифмические неравенства и их системы

Неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.

Решение логарифмических неравенств основано на строгой монотонности логарифмической функции. Известно, что при основании больше единицы логарифмическая функция возрастает; при положительном основании меньше единицы логарифмическая функция убывает.

При решении логарифмических неравенств нахождение области допустимых значений (О.Д.З.) заданного неравенства в большинстве случаев является нецелесообразным. Обычно условия, задающие О.Д.З. неравенства, подключают к тому неравенству, которое является следствием заданного неравенства, и решают затем полученную систему.

Если основание логарифма больше единицы, то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы, то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный.

Неравенство вида \(\log _af(x)>b\) эквивалентно следующим системам неравенств:

• при \(a>1\Rightarrow \begin{cases} f(x)>0 \\ f(x)>a^b \\ \end{cases} \);
• при \(0<a<1\ \Rightarrow \begin{cases} f(x)>0\\ f(x)<a^b.\\ \end{cases} \)

Неравенство вида \(\log _af(x)<b\) эквивалентно следующим системам неравенств: 

• при \(a>1\Rightarrow \begin{cases} f(x)>0 \\ f(x)<a^b \\ \end{cases} \)
• при \(0<a<1\ \Rightarrow \begin{cases} f(x)>0\\ f(x)>a^b.\\ \end{cases} \)

Пример 1. Решить неравенство: \(\log_8(x^2-4x+3)<1\).

Решение: Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство эквивалентно системе:

\(\begin{cases} x^2-4x+3>0 \\x^2-4x+3<8 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2-4x+3>0 \\x^2-4x-5<0 \\ \end{cases} \)

Каждое неравенство решим методом интервалов.

\(x^2-4x+3=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=3\). Определяя знаки, получим:

\(x^2-4x-5=0 \Rightarrow x_1=-1, x_2=5\). Определяя знаки, получим:

Совмещая промежутки, имеем:

Таким образом, \(x\in(-1;1)\cup(3;5)\).

Ответ: \(x\in(-1;1)\cup(3;5)\).

Неравенство вида \(\log _af(x)>\log _ag(x)\) эквивалентно следующим системам неравенств:

• при \(a>1 \Rightarrow \begin{cases} f(x)>0\\ g(x)>0 \\ f(x)>g(x) \end{cases}\);
• при \(0<a<1\ \Rightarrow \begin{cases} f(x)>0\\ g(x)>0 \\ f(x)<g(x).\\ \end{cases} \)

Неравенство вида \(\log _af(x)<\log _ag(x)\) эквивалентно следующим системам неравенств:

• при \(a>1 \Rightarrow \begin{cases} f(x)>0\\ g(x)>0 \\ f(x)<g(x) \end{cases}\)
• при \(0<a<1\ \Rightarrow \begin{cases} f(x)>0\\ g(x)>0 \\ f(x)>g(x).\\ \end{cases} \)

Пример 2. Решить неравенство: \(\log _{0,5}x+\log_{0,5}(x+1)\ge1\).

Решение: Находим ОДЗ:

\(\begin{cases} x>0 \\ x+1>0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>0 \\ x>-1 \\ \end{cases} \Rightarrow x\in (0;+\infty).\)

К логарифмам в левой части применим свойство суммы логарифмов: \(\log_{0,5}(x\cdot (x+1))\ge1\).

Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 0,5:

\(\log_{0,5}(x\cdot (x+1))\ge\log_{0,5}0,5\).

Так как основание логарифма меньше единицы, то знак неравенства изменится на противоположный: \(x\cdot (x+1)\le0,5 \Rightarrow x^2+x-0,5\le0\).

Решим квадратное уравнение \(x^2+x-0,5=0\):

\(D=b^2-4ac=1+2=3 \Rightarrow x_1=\frac{-1-\sqrt3}2, x_2=\frac{-1+\sqrt3}2\).

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки в полученных интервалах.

Учитывая, что нас интересуют те значения \(x\), при которых данное уравнение принимает неположительные значения, получаем интервал: \(x\in[\frac{-1-\sqrt3}2;\frac{-1+\sqrt3}2]\).

Пересекая полученный интервал с ОДЗ, окончательно будем иметь: \(x\in(0;\frac{-1+\sqrt3}2]\).

Ответ: \(x\in(0;\frac{-1+\sqrt3}2]\).

Известные способы решения систем алгебраических неравенств применяются и к решению систем, содержащих логарифмические неравенства.

Пример 3. Ре­ши­ть си­сте­му неравенств: \(\begin{cases} 9^{\lg x}+x^{2\lg 3}\le \frac23, \\ \log_2^2x+5\log_2x+6>0. \\ \end{cases}\)

Ре­ше­ние: Ре­ше­ния обоих не­ра­венств ищем при усло­вии \(x>0\). Так как при этом усло­вии \(9^{\lg x}=x^{2 \lg x}\), то, решая пер­вое не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем: \(\(9^{\lg x}\le3^{-1} \Rightarrow \lg x\le -\frac12 \Rightarrow0\)

Решая вто­рое не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем: \(\log_2^2x+5\log_2x+6>0 \Rightarrow \begin{cases} \log_2x<-3 \\ \log_2x>-2 \\ \end{cases}\)

Зна­чит, \(\frac14\).

Ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся общая часть ре­ше­ний двух не­ра­венств.

По­сколь­ку \(\frac1{\sqrt{10}}\ge \frac14\), по­лу­ча­ем: 0.

Ответ: 0.