Корень n-ой степени и его свойства

Корнем n-ой степени из числа \(a\) называется число \(b, n\)-ая степень которого равна \(\sqrt[\large n\normalsize]{a} = b,\;{b^n} = a\). Здесь \(a\ и\ b\) − действительные числа, \(n\) − натуральное число (\(n≥2\)). При этом число \(a\) называется подкоренным числом, а число \(n\) − показателем корня. Вместо слова «корень» часто говорят радикал. При \(n = 2\) арифметический корень называется квадратным корнем, при \(n = 3\) говорят о кубическом корне.

Арифметический корень n-й степени

Это то же самое, что и корень \(n\)-ой степени, но разница в том, что арифметический корень из неотрицательного числа есть неотрицательное число!

Арифметическим корнем \(n\)-ой степени из числа \(a\) называют неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).

Пример 1. \(\sqrt{81}=9 \ (9^2=81); \ \sqrt[\large 3\normalsize]{27} = 3 \ (3^3=27);\ \sqrt[\large 4\normalsize]{625} = 5 \ (5^4=625)\).

Если \(n\) – нечетное число, то существует единственный корень \(n\)-й степени из любого числа (положительного или отрицательного). Например, \(\sqrt[\large 3\normalsize]{-8}=-2; \ \sqrt[\large 3\normalsize]{8}=2\).

Если \(n\) – четное число, то существует два корня \(n\)-й степени из любого положительного числа. Например, корень четвертой степени из числа 625 – это числа –5 и 5. Так как \((5)^4=625 \ и \ (-5)^4=625\).

Корень четной степени из отрицательного числа не существует. Например, \(\sqrt[\large 2\normalsize]{-16}\) – не имеет смысла.

Для корней нечетной степени справедливо равенство \(\sqrt[\large n\normalsize]{-a}=-\sqrt[\large n\normalsize]{a}\).

Основные свойства корней

1. \((\sqrt[\large n\normalsize]{a})^n=a\).
2. Корень из произведения: \(\sqrt[\large n\normalsize]{{ab}} = \sqrt[\large n\normalsize]{a}\cdot \sqrt[\large n\normalsize]{b}\).
3. Умножение корней с разными основаниями и разными степенями: \(\sqrt[\large n\normalsize]{a}\cdot \sqrt[\large m\normalsize]{b} = \sqrt[{\large nm\normalsize}]{{{a^m}\cdot {b^n}}}\).
4. Корень от частного: \(\sqrt[\large n\normalsize]{{\large\frac{a}{b}}}\normalsize = \large\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\normalsize,\;\left( {b \ne 0} \right)\).
5. Деление корней с разными основаниями и разными степенями: \(\large\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[m]{b}}}\normalsize = \large\frac{{\sqrt[{nm}]{{{a^m}}}}}{{\sqrt[{nm}]{{{b^n}}}}}\normalsize = \large\sqrt[{nm}]{{\frac{{{a^m}}}{{{b^n}}}}}\normalsize,\;\left( {b \ne 0} \right)\).
6. Возведение корня в степень: \({\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{a}} \right)^m} = \sqrt[\large n\normalsize]{{{a^m}}}\).
7. \(\sqrt[\large n\normalsize]{{{a^m}}} = \sqrt[{\large np\normalsize}]{{{a^{mp}}}}\).
8. \({\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{{{a^m}}}} \right)^p} = \sqrt[\large n\normalsize]{{{a^{mp}}}}\).
9. Если \(a > b\), то \(\sqrt[\large n\normalsize]{a}>\sqrt[\large n\normalsize]{b}\).
10. Пусть \( m > n\). Если \(a > 1\), то \(\sqrt[\large m\normalsize]{a}<\sqrt[\large n\normalsize]{a}\); если \( 0 < a < 1\), то \(\sqrt[\large m\normalsize]{a}>\sqrt[\large n\normalsize]{a}\).

Извлечением корня \(n\)-ой степени называется действие, с помощью которого отыскивается корень \(n\)-ой степени. Извлечение корня \(n\)-ой степени является обратным действием к возведению в \(n\)-ую степень.

1. Извлечение корня из степени: \(\sqrt[\large n\normalsize]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).
2. Двойное извлечение корня: \(\sqrt[\large m\normalsize]{{\sqrt[\large n\normalsize]{a}}} = \sqrt[{\large mn\normalsize}]{a}\).

Обратное значение корня: \(\large\frac{1}{{\sqrt[n]{a}}}\normalsize = \large\frac{{\sqrt[n]{{{a^{n - 1}}}}}}{a}\normalsize,\;\;\left( {a \ne 0} \right)\).

Формулы сложных радикалов:

1. \(\sqrt {a \pm \sqrt b } = \sqrt {\large\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}\normalsize} \pm \sqrt {\large\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}\normalsize}, \;\;\left( {b \ge 0,a \ge \sqrt b } \right)\).
2. \(\sqrt {a + \sqrt b } \pm \sqrt {a - \sqrt b } = 2\sqrt {\large\frac{{a \pm \sqrt {{a^2} - b} }}{2}\normalsize}, \;\;\left( {b \ge 0,a \ge \sqrt b } \right)\).
3. \(\large\frac{1}{{\sqrt a \pm \sqrt b }}\normalsize = \large\frac{{\sqrt a \mp \sqrt b }}{{a - b}}\normalsize,\;\;\left( {a \ne b} \right)\).

Пример 2. Упростить выражение с корнем: \(\sqrt[\large 3\normalsize]{\frac{a^4\cdot \sqrt[\large 3\normalsize]{b^9}}{a^{-2}}}\).

Решение: Запишем показатели степеней рациональными числами и преобразуем их: \(\sqrt[\large 3\normalsize]{\frac{a^4\cdot \sqrt[\large 3\normalsize]{b^9}}{a^{-2}}}=(a^{4-(-2)}\cdot b^{\frac93})^\frac13=(a^6\cdot b^3)^\frac13=(a^6)^\frac13\cdot (b^3)^\frac13=a^\frac63\cdot b^\frac33=a^2b\).

Ответ: \(a^2b\).

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: \(\frac1{\sqrt[\large 3\normalsize]{2}-1}\).

Решение: Имеем иррациональность 3-й степени, поэтому и числитель, и знаменатель умножим на неполный квадрат суммы чисел \(\sqrt2\) и 1, тогда в знаменателе получим разность кубов, которая и ликвидирует иррациональность.

\(\frac1{\sqrt[\large 3\normalsize]{2}-1}=\frac{1\cdot ((\sqrt[\large 3\normalsize]{2})^2+\sqrt[\large 3\normalsize]{2}+1^2)}{(\sqrt[\large 3\normalsize]{2}-1)((\sqrt[\large 3\normalsize]{2})^2+ \sqrt[\large 3\normalsize]{2}+1^2)}=\frac{\sqrt[\large 3\normalsize]{4}+ \sqrt[\large 3\normalsize]{2}+1}{(\sqrt[\large 3\normalsize]{2})^3-1}=\frac{\sqrt[\large 3\normalsize]{4}+ \sqrt[\large 3\normalsize]{2}+1}{2-1^3}=\sqrt[\large 3\normalsize]{4}+ \sqrt[\large 3\normalsize]{2}+1\).

Ответ: \(\sqrt[\large 3\normalsize]{4}+ \sqrt[\large 3\normalsize]{2}+1\).