Дифференцирование и интегрирование показательных и логарифмических функций

Производная логарифмической функции имеет вид \({\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}{\log _a}e\). По формуле перехода к новому основанию логарифма имеем: \({\log _a}e = \frac{{\ln e}}{{\ln a}} = \frac{1}{{\ln a}}\). Таким образом, \(y'\left( x \right) = {\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}\).

В случае \(a=e\) мы получаем натуральный логарифм, производная которого выражается формулой \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{x}\normalsize\).

Производная показательной функции

Поскольку показательная функция с основанием \(a\ (a>0, a≠1)\) и логарифмическая функция с тем же основанием образуют пару взаимно обратных функций, то производную показательной функции можно найти с помощью теоремы о производной обратной функции.

Пусть дана пара взаимно обратных функций \(y = f\left( x \right) = {a^x}\) и \(x = \varphi \left( y \right) = {\log _a}y\). Тогда \({\left( {{a^x}} \right)^\prime = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {{{\log }_a}y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\frac{1}{{y\ln a}}}} } = {y\ln a } = {{a^x}\ln a.}\)

В частном случае \(a=e\) производная равна самой функции: \({\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\ln e = {e^x}\).

Пример 1. Вычислить производную функции: \(y = \frac{{{x^2}}}{{{2^x}}}\).

Решение: По формуле производной частного двух функций находим:

\({y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{2^x}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime } \cdot {2^x} - {x^2} \cdot {{\left( {{2^x}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}} } = {\frac{{2 x \cdot {2^x} - {x^2} \cdot {2^x}\ln 2}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}} }= {\frac{{x{2^x}\left( {2 - x\ln 2} \right)}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^{{2}}}}} }= \\= {\frac{{x\left( {2 - x\ln 2} \right)}}{{{2^x}}}.\;\;}\)

Пример 2. Вычислить производную функции: \(y = {\log _3}\frac{3}{x} + \frac{3}{x}\).

Решение: Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования сложной функции, получаем:

\({y'\left( x \right) = {\left( {{{\log }_3}\frac{3}{x} + \frac{3}{x}} \right)^\prime } } = {{\left( {{{\log }_3}\frac{3}{x}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{3}{x}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\frac{3}{x}\ln 3}} \cdot {\left( {\frac{3}{x}} \right)^\prime } + 3 \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } }= \\= {\frac{x}{{3\ln 3}} \cdot 3 \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 3 \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = { - \frac{3}{{{x^2}}}\left( {\frac{x}{{3\ln 3}} + 1} \right) } = { - \frac{3}{{{x^2}}} \cdot \frac{{x + 3\ln 3}}{{3\ln 3}} }= \\= { - \frac{{x + 3\ln 3}}{{{x^2}\ln 3}}.}\)

Интегралы от показательных и логарифмических функций

• Интеграл от экспоненциальной функции: \(\large\int\normalsize {{e^x}dx} = {e^x} + C\).
• \(\large\int\normalsize {{e^{ax}}dx} = \large\frac{{{e^{ax}}}}{{a}}\normalsize + C,\;\;a \ne 0\).
• \(\large\int\normalsize {x{e^{ax}}dx} = \large\frac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}}\normalsize\left( {ax - 1} \right) + C,\;\;a \ne 0\).
• Интеграл от показательной функции: \(\large\int\normalsize {{a^x}dx} = \large\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\normalsize + C,\;\;a > 0\).
• Интеграл от натурального логарифма: \(\large\int\normalsize {\ln x\,dx} = x\ln x - x + C\).
• \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{x\ln x}}\normalsize} = \ln \left| {\ln x} \right| + C\).
• \(\large\int\normalsize {{x^n}\ln x\,dx} = {x^{n + 1}}\left[ {\large\frac{{\ln x}}{{n + 1}}\normalsize - \large\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}\normalsize \right] + C\).

Пример 3. Найти интеграл: \(\int {{2^x}{e^x}dx} \).

Решение: Перепишем интеграл в виде \(\int {{2^x}{e^x}dx} = \int {{{\left( {2e} \right)}^x}dx} \).

Обозначая \(2e=a\), получаем табличный интеграл \({\int {{{\left( {2e} \right)}^x}dx} } = {\int {{a^x}dx} } = {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C } = {\frac{{{{\left( {2e} \right)}^x}}}{{\ln \left( {2e} \right)}} + C } = {\frac{{{2^x}{e^x}}}{{\ln 2 + \ln e}} + C } = {\frac{{{2^x}{e^x}}}{{\ln 2 + 1}} + C.}\)

Пример 4. Найти интеграл: \(\int\frac{(2\ln x+3)^3}{x}dx\).

Решение: Перепишем данный интеграл в виде \(\int{(2\ln x+3)^3}\frac1{x}dx\). Так как производная выражения \(2 \ln x+3 \ равна \ \frac2{x}\), а второй множитель \(\frac1{x}\) отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку \(2 \ln x+3=t\). Тогда \(2\cdot \frac{dx}{x}=dt, \frac{dx}{x}=\frac12 dt\). Следовательно,

\(\int(2 \ln x+3)^3\frac{dx}{x}=\int t^3\cdot \frac12dt=\frac12 \int t^3dt=\frac18 t^4+C=\frac18(2\ln x+3)^4+C.\)