+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Производная сложных функций
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Если g:X→U и f:U→Y, то композиция функций g и f обозначается как​​​​y = \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( u \right) и представляет собой «двухслойную» сложную функцию или функцию от функции.

Если  f \ и\ g – дифференцируемые функции, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема по x, и ее производная равна {\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) } = {\frac{d}{{dx}}f\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right) } = {\frac{{df}}{{du}}\frac{{du}}{{dx}}}.

y'\left( {{x_0}} \right) = {f'\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)\cdot g'\left( {{x_0}} \right)}.

Производные сложных функций вида y=f(u(x)) можно найти по формулам:

1. \ (u^n)'=nx^{n-1}\cdot u' 10. \ (arcsinu)'=\frac1{\sqrt{1-u^2}}\cdot u'
2. \ (a^u)'=a^u\cdot lna\cdot u' 11. \ (arccosu)'=-\frac1{\sqrt{1-u^2}}\cdot u'
3. \ (e^u)'=e^u\cdot u' 12. \ (arctgu)'=\frac1{1+u^2}\cdot u'
4. \ (log_au)'=\frac1{x\cdot lna}\cdot u' 13. \ (arcctgu)'=-\frac1{1+u^2}\cdot u'
5. \ (lnu)'=\frac1{u}\cdot u' 14. \ (shu)'=chu\cdot u'
6.\ (sinu)'=cosu\cdot u' 15. \ (chu)'=shu\cdot u'
7. \ (cosu)'=-sinu\cdot u' 16. \ (thu)'=\frac1{ch^2u}\cdot u'
8. \ (\sqrt{u})'=\frac1{2\sqrt{u}}\cdot u' 17. \ (thu)'=-\frac1{sh^2u}\cdot u'
9. \ (tgu)'=\frac1{cos^2u}\cdot u' 18.\ (ctgu)'=-\frac1{sin^2u}\cdot u'

Пример 1. Найти производную функции: y = \sqrt {x\sqrt x }.

Решение: Применяя правила дифференцирования произведения функций и сложной функции, получаем:

{y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {x\sqrt x } } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} \cdot {\left( {x\sqrt x } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} \cdot \left( {x'\sqrt x + x{{\left( {\sqrt x } \right)}^\prime }} \right) }= \\= {\frac{1}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} \cdot \left( {1 \cdot \sqrt x + x \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) } = {\frac{{\sqrt x + \frac{x}{{2\sqrt x }}}}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} } = {\frac{{\sqrt x + \frac{{\sqrt x }}{2}}}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} } = {\frac{{\frac{{3\sqrt x }}{2}}}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} } = {\frac{{3{\sqrt x} }}{{4 {\sqrt x} \sqrt {\sqrt x } }} } = \\={\frac{3}{{4\sqrt[\large 4\normalsize]{x}}}\;\;\left( {x > 0} \right).}

Пример 2. Найти производную функции: y = arctg \left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right).

Решение: Учитывая, что {\left( {arctg x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}}, по правилу дифференцирования сложной функции, находим:

{y'\left( x \right) = {\left[ {arctg \left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {{\left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} \cdot {\left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)^\prime } }= \\= {\frac{1}{{1 + {x^2} - 2x\sqrt {1 + {x^2}} + {{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} \cdot \left( {1 - \frac{{{2}x}}{{{2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) } = {\frac{{1 - \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{1} + {x^2} - 2x\sqrt {1 + {x^2}} +{1} + {x^2}}} }= \\= {\frac{{\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{2} + {2{x^2}} - 2x\sqrt {1 + {x^2}} }} } = {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} {\left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right)}\sqrt {1 + {x^2}} }} } = {\frac{1}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}.}



Вопросы

  1. Найдите производную функции.

    y = \ln \left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)

  2. Найдите производную функции.

    y = sin {x^3}\cdot cos {x^2}

  3. Найдите производную функции.

    y = xsin \frac{1}{x}

  4. Найдите производную функции.

    y = \ln \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^4}} }}

  5. Вычислите производную функции y =arcctg\,\frac{{{x^2}}}{a}, при\;\left( {a \ne 0} \right).

  6. Найдите производную функции.

    y = \frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}

  7. Найдите производную функции.

    y = {sin ^3}x

  8. Найдите производную функции.

    y = {3^{cos x}}

  9. Найдите производную функции.

    y = \ln tg x

  10. Найдите значение производной функции y=sinx^3, при x=2π.

  11. Вычислите производную функции.

    y(x)=(x^2-1)^4

Сообщить об ошибке