+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Производная сложных функций
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Если \(g:X \to U\) и \(f:U \to Y\), то композиция функций \(g\  и \ f\) обозначается как\(​​​​y = \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( u \right)\) и представляет собой «двухслойную» сложную функцию или функцию от функции.

Если \( f \ и\ g\) – дифференцируемые функции, то сложная функция \(y=f(g(x))\) также дифференцируема по \(x\), и ее производная равна \({\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) } = {\frac{d}{{dx}}f\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right) } = {\frac{{df}}{{du}}\frac{{du}}{{dx}}}\).

\(y'\left( {{x_0}} \right) = {f'\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)\cdot g'\left( {{x_0}} \right)}\).

Производные сложных функций вида \(y=f(u(x))\) можно найти по формулам:

\(1. \ (u^n)'=nx^{n-1}\cdot u'\) \(10. \ (arcsinu)'=\frac1{\sqrt{1-u^2}}\cdot u'\)
\(2. \ (a^u)'=a^u\cdot lna\cdot u'\) \(11. \ (arccosu)'=-\frac1{\sqrt{1-u^2}}\cdot u'\)
\(3. \ (e^u)'=e^u\cdot u'\) \(12. \ (arctgu)'=\frac1{1+u^2}\cdot u'\)
\(4. \ (log_au)'=\frac1{x\cdot lna}\cdot u'\) \(13. \ (arcctgu)'=-\frac1{1+u^2}\cdot u'\)
\(5. \ (lnu)'=\frac1{u}\cdot u'\) \(14. \ (shu)'=chu\cdot u'\)
\(6.\ (sinu)'=cosu\cdot u'\) \(15. \ (chu)'=shu\cdot u'\)
\(7. \ (cosu)'=-sinu\cdot u'\) \(16. \ (thu)'=\frac1{ch^2u}\cdot u'\)
\(8. \ (\sqrt{u})'=\frac1{2\sqrt{u}}\cdot u'\) \(17. \ (thu)'=-\frac1{sh^2u}\cdot u'\)
\(9. \ (tgu)'=\frac1{cos^2u}\cdot u'\) \(18.\ (ctgu)'=-\frac1{sin^2u}\cdot u'\)

Пример 1. Найти производную функции: \(y = \sqrt {x\sqrt x }\).

Решение: Применяя правила дифференцирования произведения функций и сложной функции, получаем:

\({y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {x\sqrt x } } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} \cdot {\left( {x\sqrt x } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} \cdot \left( {x'\sqrt x + x{{\left( {\sqrt x } \right)}^\prime }} \right) }= \\= {\frac{1}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} \cdot \left( {1 \cdot \sqrt x + x \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) } = {\frac{{\sqrt x + \frac{x}{{2\sqrt x }}}}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} } = {\frac{{\sqrt x + \frac{{\sqrt x }}{2}}}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} } = {\frac{{\frac{{3\sqrt x }}{2}}}{{2\sqrt {x\sqrt x } }} } = {\frac{{3{\sqrt x} }}{{4 {\sqrt x} \sqrt {\sqrt x } }} } = \\={\frac{3}{{4\sqrt[\large 4\normalsize]{x}}}\;\;\left( {x > 0} \right).}\)

Пример 2. Найти производную функции: \(y = arctg \left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\).

Решение: Учитывая, что \({\left( {arctg x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}},\) по правилу дифференцирования сложной функции, находим:

\({y'\left( x \right) = {\left[ {arctg \left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {{\left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} \cdot {\left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)^\prime } }= \\= {\frac{1}{{1 + {x^2} - 2x\sqrt {1 + {x^2}} + {{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} \cdot \left( {1 - \frac{{{2}x}}{{{2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) } = {\frac{{1 - \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{1} + {x^2} - 2x\sqrt {1 + {x^2}} +{1} + {x^2}}} }= \\= {\frac{{\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{2} + {2{x^2}} - 2x\sqrt {1 + {x^2}} }} } = {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} {\left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right)}\sqrt {1 + {x^2}} }} } = {\frac{1}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}.}\)



Вопросы

  1. Найдите производную функции.

    \(y = \ln \left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)\)

  2. Найдите производную функции.

    \(y = sin {x^3}\cdot cos {x^2}\)

  3. Найдите производную функции.

    \(y = xsin \frac{1}{x}\)

  4. Найдите производную функции.

    \(y = \ln \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^4}} }}\)

  5. Вычислите производную функции \(y =arcctg\,\frac{{{x^2}}}{a},\) при\(\;\left( {a \ne 0} \right)\).

  6. Найдите производную функции.

    \(y = \frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}\)

  7. Найдите производную функции.

    \(y = {sin ^3}x\)

  8. Найдите производную функции.

    \(y = {3^{cos x}}\)

  9. Найдите производную функции.

    \(y = \ln tg x\)

  10. Найдите значение производной функции \(y=sinx^3\), при \(x=2π\).

  11. Вычислите производную функции.

    \(y(x)=(x^2-1)^4\)

Сообщить об ошибке