Системы тригонометрических неравенств и методы их решения

Системы неравенств можно решать с помощью единичной окружности, придерживаясь следующего алгоритма:

1. Отметить на окружности решение первого неравенства.
2. Отметить решение второго неравенства.
3. Выделить общее решение (пересечение дуг).
4. Записать общее решение системы неравенств с учетом периода.

Пример 1. Ре­шите си­сте­му нера­венств: \(\begin{cases} sinx>-\frac{\sqrt2}2, \\ cosx\le\frac{\sqrt3}2. \\ \end{cases}\)

Решение: Решим про­стей­шие нера­вен­ства с по­мо­щью фор­мул общих ре­ше­ний: \(x\in (arcsina+2\pi n; \pi-arcsina+2\pi n), n\in Z \ и \\ x\in[arccosa+2\pi n; 2\pi-arccosa+2\pi n], n\in Z.\)

Для наших нера­венств имеем два про­ме­жут­ка ре­ше­ний:

\(1)\ x\in (arcsin(-\frac{\sqrt2}2)+2\pi n; \pi-arcsin(-\frac{\sqrt2}2)+2\pi n), n\in Z \Rightarrow \\ x\in(-\frac{\pi}4+2\pi n; \pi+\frac{\pi}4+2\pi n) \Rightarrow x\in(-\frac{\pi}4+2\pi n; \frac{5\pi}4+2\pi n), n\in Z. \)

\(2)\ x\in [arccos\frac{\sqrt3}2+2\pi n; 2\pi-arccos\frac{\sqrt3}2+2\pi n], n\in Z \Rightarrow \\x\in[\frac{\pi}6+2\pi n; 2\pi-\frac{\pi}6+2\pi n] \Rightarrow x\in[\frac{\pi}6+2\pi n; \frac{11\pi}6+2\pi n], n\in Z.\)

Для этих двух про­ме­жут­ков необ­хо­ди­мо ука­зать пе­ре­се­че­ние. Изоб­ра­зим это на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти:

Видно, что пе­ре­се­че­ни­ем об­ла­стей ре­ше­ний яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток:

\(x\in[\frac{\pi}6+2\pi n; \frac{5\pi}4+2\pi n), n\in Z\).

Про­ме­жу­ток \(x\in(-\frac{\pi}4+2\pi n; \frac{11\pi}6+2\pi n], n\in Z\) не яв­ля­ет­ся ча­стью ре­ше­ния, т. к. на самом деле здесь об­ла­сти не пе­ре­се­ка­ют­ся, по­сколь­ку лежат в раз­ных диа­па­зо­нах углов: от­ри­ца­тель­ном и по­ло­жи­тель­ном.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние на то, что на­ча­ло про­ме­жут­ка ре­ше­ний вклю­ча­ет­ся, а конец ис­клю­ча­ет­ся.

Ответ: \(x\in[\frac{\pi}6+2\pi n; \frac{5\pi}4+2\pi n), n\in Z\).